位置矢量的矢量运算

【矢量运算】

1. 矢量A和B的加法定义为两矢量的和，记作A+B。可以使用平行四边形法则或首尾相接法则来计算。相反地，矢量A和B的减法定义为两矢量的差，记作A-B，即A-B = A + (-B)。按照减去的矢量B的反方向，再与A相加。矢量加减运算遵循交换律A+B = B+A和结合律A+(B-C) = (A+B)-C。若已知A = exAx + eyAy + ezAz和B = exBx + eyBy + ezBz，则A+B = (Ax+Bx)ex + (Ay+By)ey + (Az+Bz)ez，其模长|A+B| = [(Ax+Bx)^2 + (Ay+By)^2 + (Az+Bz)^2]^(1/2)。

2. 标量ƒ与矢量A的乘积定义为一新矢量ƒA，它是A的ƒ倍。当ƒ为正值或负值时，可以画出ƒA。具体地，ƒA = fAxex + fAyey + fAzez。

3. 两矢量A和B的标量积，又称点积，定义为标量，其量值为两矢量的模与两矢量间夹角θ(0≤θ≤180°)的余弦之积，记作AB·cosθ。点积的特点包括：两矢量的点积为一标量，其正负取决于θ是锐角还是钝角；点积遵从交换律；若A与B相互垂直，则点积为零，反之亦然；A与自身的点积为A的平方。在直角坐标系下，A、B的点积运算为AxBx + AyBy + AzBz，遵循分配率。

4. 矢量A和B的矢量积，又称叉积，定义为A×B，其表达式为A×B = |A||B|sinθen。其中，θ为A与B间的夹角，en是A×B的单位矢量，与A、B相垂直，方向由右手定则确定。叉积的特点包括：两矢量的叉积是一个矢量；叉积不遵从交换率；当A与B相平行时，叉积为零，反之亦然；A自身的叉积为零。在直角坐标系下，A、B的叉积运算，应将两矢量的各分量逐项叉乘，考虑到单位矢量的叉乘关系。A与B+C的叉积遵循分配率，即A×(B+C) = A×B + A×C。