常用的三种矩阵范数是什么？

在矩阵分析中，三种常用的矩阵范数具有关键作用。它们分别是:

1. L0范数，也称为列和范数，它是通过计算矩阵每一列元素绝对值之和的最大值来衡量的，即║A║1 = max{∑|ai1|, ∑|ai2|, ..., ∑|ain|}。

2. L2范数，又称欧几里德范数或谱范数，以矩阵的最大奇异值来表示，即║A║2 = (max{λi(A^H*A)})^(1/2)，其中A^H是A的转置共轭矩阵，λi是A^H*A的特征值中的最大值。

3. L∞范数，即行和范数，通过比较矩阵每一行元素绝对值之和的最大值来定义，即║A║∞ = max{∑|a1j|, ∑|a2j|, ..., ∑|amj|}。

值得注意的是，这些范数除了满足基本的正定性、齐次性和三角不等性外，还具有相容性要求，即矩阵范数需满足XY的范数不大于X和Y各自范数的乘积。这使得矩阵范数与算子范数保持一致，有助于保持矩阵作为线性算子的特性。极小范数是相对于其他范数的特殊存在，它在保持矩阵的特性的同时，提供了额外的信息。

总的来说，L0、L2和L∞范数是矩阵分析中的重要工具，它们在衡量矩阵的不同方面具有独特的意义。