10分钟看明白大M法和两阶段法

为何学习单纯形法后还要继续学习大M法和两阶段法？这主要是因为单纯形法在遇到特殊情况时可能会显得繁琐且不易操作。在单纯形法的求解过程中，我们通常会面临无法直接得到单位矩阵，进而无法直接选择基向量进行计算的问题。此时，大M法和两阶段法就成为了处理此类特殊情况的有效工具。

大M法和两阶段法有何不同？它们的使用场景又如何灵活运用呢？首先，大M法在处理特殊情况时引入了人工变量，通过设定一个较大的数值M，保证人工变量能够顺利出基，从而找到初始可行解。而两阶段法则需要在求解过程中先构造一个只含有人工变量的目标函数，并求其极小值，通过判断最终Z值是否为0来判断原问题是否具有可行解。一旦确定有可行解，便进行第二阶段的优化，直接计算原问题的最优解。

以一个简单的线性规划问题为例，让我们来具体看看大M法的解答过程。假设我们有一个线性规划问题，需要通过大M法来求解。大M法中的人工变量M是一个足够大的数，用于保证人工变量能够出基。在这个过程中，我们引入了人工变量，通过迭代过程找到初始可行解，然后让人工变量出基，最终求得原问题的最优解。

两阶段法的解答过程更加直接，它首先构造了一个只含人工变量的目标函数，并求其极小值。通过判断最后的Z值是否为0，判断原问题是否存在可行解。如果Z值为0，说明存在可行解，然后进行第二阶段的优化，去掉人工变量，直接计算原问题的最优解。

为什么Z值为0就能说明原式有可行解呢？这是因为引入的人工变量在求解过程中被当作基变量处理。当人工变量最终出基，即变为非基变量并赋值为0时，说明在原有的变量中找到了基变量，构成了一个单位阵，从而找到了初始可行解。只有在有可行解的情况下，人工变量才最终出基，导致Z值变为0。

总之，大M法和两阶段法在处理特殊线性规划问题时，通过引入人工变量和特定目标函数，帮助我们找到初始可行解，并最终求得原问题的最优解。通过灵活运用这两种方法，我们可以更加高效地解决复杂的问题。