对合射影几何中的对合

在射影几何中，对合的概念非恒同于恒同变换，因为恒同变换在几何上没有实质意义。点线在射影几何中是对偶的，这意味着讨论点列的对合性质同样适用于线束和二次点列。对合可以通过交比来判定，即若P和P'对应，那么(PP', AB) = (P'P, A'B')（交比条件）。

不变元素EF与对合的关系表现为(PP', EF) = -1（调和点列）。在图形中，如A、A'、B、B'和C、C'之间的对合，它们的连线会在公共点O相交，这个交点是对应射影轴的极点。对于射影变换，如果A映射到A'，B映射到B'，则AB'和A'B的交点必定在射影轴上，这个性质也适用于切线和割线。

在处理圆外点的切线和割线问题时，通常与二次点列的对合有关。通过配极，可以发现对应元素的切线在射影对应轴上相交。迪沙格对合定理进一步连接了直线上的对合变换和二次曲线上的对合，例如在椭圆上，给定一个固定点P和对合点，它们的连线会确定一个线束，这条线束与固定直线的交点决定了直线上的对合变换。

更一般地，二次曲线系（二阶线束）与四点的交点，这些交点与定直线上的点是对应对合的。当二次曲线退化为直线，形成完全四点形，当直线通过对边交点时，会引发完全四点形的调和性定理。这些对合关系在射影几何中构成了丰富而深刻的理论结构。