Z变换是一个什么函数？

假设 $a$ 是一个常数，$u(n)$ 是单位阶跃函数，即 $u(n)=0$（$n<0$），$u(n)=1$（$n\geq 0$）。则 $X(n)=a^nu(n)$。

将 $X(n)$ 的 Z 变换表示为 $X(z)=\mathcal{Z}{X(n)}=\sum_{n=0}^\infty a^nu(n)z^{-n}$。

根据 Z 变换的定义，将 $u(n)$ 的 Z 变换 $U(z)=\mathcal{Z}{u(n)}=\frac{1}{1-z^{-1}}$ 代入上式中，得到：

$$X(z)=\sum_{n=0}^\infty a^n z^{-n}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{a}{z}\right)^n$$

上式是一个等比数列求和，当 $|a/z|<1$ 时，该等比数列收敛，因此该 Z 变换的收敛域为 $|a/z|<1$ 或 $|z|>|a|$。

该 Z 变换是一个有理函数，因为它可以表示为两个多项式的比值。该 Z 变换的收敛域包括单位圆外部，因此是一个左极点，右极点或零点。当 $|a/z|<1$ 时，该 Z 变换有一个单独的极点，因此是一个极点。