【图神经网络】数学基础篇

本文将深入探索图神经网络的数学基础，从数据分类、梯度、散度、欧拉公式、经典傅里叶变换、图信号处理、拉普拉斯矩阵、拉普拉斯的谱分解、图傅里叶变换等核心概念入手，逐步解析图神经网络的数学原理。

首先，数据可以分为欧几里德结构化数据和非欧结构化数据。欧几里德结构化数据如时间序列和图像，具有清晰的排列和定义距离的概念；非欧结构化数据如社交网络、基因、分子、大脑等，数据排列不规则，难以定义邻居节点。图可以表示非欧结构化数据的学习。

接着，梯度概念在数学中表示函数在某点附近的最大变化率。通过梯度，我们可以找到下山的最快路径，即梯度下降法。梯度是一个向量，其方向与最大变化率一致，模表示最大变化率的大小。梯度的计算公式利用泰勒展开式，通过迭代计算梯度和步长，可以沿着梯度方向下山。

散度则描述矢量场在各点的发散程度，物理上表示源与汇。散度大于零表示发散源，小于零表示吸收能量的汇，等于零表示无源。

欧拉公式定义了复数与三角函数的关系，e 为自然对数的底数。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，便于分析信号的频率结构。傅里叶级数适用于周期函数，将函数表示为三角级数，而傅里叶变换则适用于非周期函数，通过无穷大周期函数的极限转换。

图信号处理涉及图信号、图的矩阵（度矩阵、邻接矩阵、关联矩阵）和图函数的梯度。拉普拉斯矩阵由度矩阵和邻接矩阵组成，衡量图信号的局部平滑度，其特征分解为拉普拉斯的谱分解，特征值等价于频率，用于分析图信号的频谱。

图傅里叶变换将图信号转换到傅里叶域，通过傅里叶基进行线性表示，可以分析图信号的频谱，实现频率域的图信号处理。总变差通过傅里叶系数与特征值的线性组合表示，揭示了图信号的平滑度。

特征值的意义在于，拉普拉斯矩阵的特征值反映了信号在不同频率的振荡程度，特征向量代表不同频率的基。图傅里叶变换将图信号分解为各频率的贡献，便于进行频率域的分析与操作。

本文通过深入解析图神经网络的数学基础，为理解和应用图神经网络提供了坚实的理论支持。