矩阵的秩怎么计算？

矩阵秩是线性代数中衡量矩阵独立性的重要概念。简单来说，给定一个m×n的矩阵A，其秩r(A)定义为矩阵中线性独立列向量或行向量的最大数量。这个数量即为矩阵的列秩或行秩，它们在数学上是相等的，都表示为rk(A)或rank A。当我们考虑矩阵的向量表示时，秩就是构成矩阵的那些向量所能构成的最大无关组的大小。

矩阵秩的计算遵循几个关键定理。首先，通过初等行变换（例如交换行、添加或倍增行）不会改变矩阵的秩。其次，矩阵A和B的乘积的秩Rab，即AB的秩，不会超过矩阵A的秩乘以矩阵B的秩，但可能小于这个乘积，即Rab≤rank(A)×rank(B)。理解矩阵的秩对于理解矩阵的性质、解线性方程组以及矩阵的秩相关性质如逆矩阵和特征值问题等至关重要。