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第六节 用牛顿定律解决问题（一）

一、知识·能力聚集

1．牛顿三个运动定律的区别与联系

2．动力学两类基本问题

应用牛顿运动定律解决的一般问题主要可分为两类：(1)已知受力情况求运动情况，知道物体受到的全部作用力，应用牛顿第二定律求出加速度．若再知道物体的初始条件用运动学公式就可求出物体的运动情况——任意时刻的位里和速度，以及运动的轨迹．(2)已知运动情况求受力情况，即知道物体的运动情况，求出物体的加速度，应推断或者求出物体所受的力．

分析解决这两类问题的关健是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度.其分析流程为：

3．动力学问题的处理方法

(1)正确的受力分析

对物体进行受力分析，是求解力学问题的关健，也是学好力学的基础．

(2)受力分析的依据

①力的产生条件是否存在，是受力分析的重要依据之一

②力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系，结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视的．

③由牛顿第三定律（力的相互性）出发，分析物体的受力情况，可以化难为易．

(3)受力分析的基本方法

①明确研究对象，即对谁进行受力分析．

②把要研究的物体从周围物体中隔离出来．

③按顺序分析受力情况，画出力的示意图，其顺序为：重力、弹力、摩擦力、其他力．

(4)解题思路及步骤

①首先要对所确定的研究对象作出受力情况、运动情况分析，把题中所给的物理情景弄清楚，然后由牛顿第二定律，通过加速度这个联系力和运动的“桥梁”，结合运动学公式进行求解．这是用牛顿运动定律解题的基本思路和方法．

②由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般方法和步骤．

a．确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力分析图．

b．根据力的合成与分解的方法，求出物体所受合外力（包括大小和方向）．

c．根据牛顿第二定律列方程，求出物体的加速度．

d．结合给定的物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动参量．

③由物体的运动情况求解物体的受力情况．

解决这类问题的基本思路是解决第一类问题的逆过程，具体步骤跟上面所讲的相似，但需特别注意：a．由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向与加速度的方向混淆．b．题目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力．即使是后一种情况，也必须先求出合力的大小和方向，再根据力的合成与分解知识求分力．

二、方法·技巧平台

4．轻绳、轻杆、轻弹簧模型

在力学问题中有很多研究对象是通过“轻绳”、“轻杆”、“轻弹簧”连接的，应弄清楚三种模型的特点和区别．

(1)三种模型的主要特点

①轻绳

A．轻绳模型的建立

轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以致于认为受力形变极微，看作不可伸长．

B．轻绳模型的特点

a．轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子．

b．轻绳不能伸长．

c．用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统内机械能有损失．

②轻杆

A．轻杆模型的建立

轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以致于认为受力形变极微，看作不可伸长或压缩．

B．轻杆模型的特点

a．轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向．

b．轻杆不能伸长或压缩．

c．轻杆受到的弹力的方式有：拉力或压力

③轻弹簧

A.轻弹簧模型的建立

轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧长度的改变量有关．

B．轻弹簧的特点

a．轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反．

b．弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧长度的改变量．

5.整体法、隔离法求解连接体问题

两个（或两个以上）物体组成的连接体，它们之间的联结纽带是加速度，高中阶段只求加速度相同的问题．

在连接体内各物体具有相同的加速度，应先把连结体当成一个整体，分析受到的外力，利用牛顿第二定律求出加速度，若要求连结体内各物体相互作用的力，则把物体隔离，对某个物体单独进行受力分析，再利用牛顿第二定律对该物体列式求解．

(1)求内力：先整体后隔离．

[例题]如图4-6-1所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起，放在光滑的水平面上，如果它们分别受到水平推力F1和F2，而且F1＞F2则A施于B的作用力大小为( )

A．F1

B．F2

C．(F1+F2)/2

D．(F1-F2)/2

[解析]物体A和B加速度相同，求它们之间的相互作用力，采取先整体后隔离方法，先求出它们共同加速度，然后再选取A或B为研究对象，求出它们之间的相互作用力．

[点评]此题也可以对物体A进行隔离．

利用F1-FN=ma求解．

此题可以一开始就用隔离法：

对于A：F1-FN=ma，①

对于B：FN-F2=ma. ②

从原则上讲，求内力可任意隔离与之相郁的物体均可求解．但应注意尽量使用过程简洁．

(2)求外力：先隔离后整体．

[例题]知图4-6-3所示，质量为m的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体的质量为M，斜面与物块无摩擦，地面光滑．现对斜面施一个水平推力F，要使物体相对斜面静止，力F应为多大？

[解析]两物体无相对滑动，说明两物体加速度相同，方向水平．对于物块m，受两个力作用，其合力水平向左．先选取物块m为研究对象，求出它的加速度，它的加速度就是整体加速度，再根据F=(m+M)a，求出推力F.

选择物块为研究对象，受两个力，重力mg、支持力FN，且二力合力方向水平．如图4-6-4所示，由图可得：ma=mgtanθ，a=g·tanθ.

再选整体为研究对象，根据牛顿第二定律

F=(m+M)a=(m+M)gtanθ.

[点评]要使物块与斜面保持相对静止，即相对斜面不上滑也不下滑，加速度就应水平．这是一种临界状态，考虑一下，当F大于(m+M)gtanθ或小于(m+M)gtanθ时，物块相对斜面将怎样运动？

6．逆向思维——执果索因法

在平常解题时，有的从正面分析无法求解，需要反过来思考，求出与之牵连的物理量再求解.

[例题]质量M=10kg的木楔ABC静置于粗糙水平地面上，动摩擦因数μ=0.02．在木楔的倾角θ为30°的斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑．当滑行路程s＝1.4m时，其速度v=1.4m/s．在这过程中木楔没有动．求地面对木楔的摩擦力的大小和方向．(重力加速度取g=10m/s2)

[解析]此题要求地面对木楔摩擦力大小和方向，由于木楔没有动，所以不能用F=μFN求解．物块有加速度，有合外力，而木楔没有动，没有加速度，把二者看成一个体，物块水平方向的合外力，就一定等于地面给木楔的摩擦力．现在求物块水平方向的合外力．

对于物块，由运动学公式可得它下滑的加速度a，

F=m·a水平=1×0.61N=0.61N.

所以，地面对木楔的摩擦力大小为0.61 N,方向水平向右．

[点评]有些问题，按设问无法直接求解．但反过来想却很简单．真正是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村．”

7．极限法

[例题]如图4-6-5所示，质量为M的木板上放着一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数μ2，加在木板上的力F为多大，才能将木板从匀加速地木块下抽出？

[解析]只有当M和m发生相对滑动时，才有可能将M从mg下抽出，此时对应的临界状态是：M与m间的摩擦力达到最大静摩擦力Fm，且m运动的加速度为二者共同运动时的最大加速度am.隔离m，根据牛顿第二定律有

.

am就是系统在此临界状态的加速度．设此时作用于M上的力为F0，对系统整体，根据牛顿第二定律有：F0-μ2(M+m)g=(M+m)am，

即F0=(μ1+μ2)(M+m)g.

当F＞F0时必能将M抽出，故F＞(μ1+μ2)(M+m)g.

[点评]极限法往往包含有假设，即假设运动过程（状态）达到极限，然后根据极限状态满足的条件，作出正确的分析判断．这种方法是探求解题途径、寻求解题突破口、提高解题效率的一种行之有效的方法．此外，运用极限思维的方法往往还可以检验解题的结果．请看下题：

[例题]如图4-6-6所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂质量为m0的平盘，盘中放有物体，质量为m.当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了l，今向下拉盘使弹簧再伸长△l而停止，然后松手放开，求刚松开手时盘对物体的支持力．

[解析]当盘静止时由平衡条件得：

kl-(m+m0)g=0. ①

当弹簧再伸长△l，刚放手瞬间，由牛顿第二定律得

k(l+△l)-(m+m0)g=(m+m0)a，②

FN-mg=ma. ③

[点评]本题可用极限法检验解题的结果．当△l=0时，即不向下拉盘时，盘对物体的支持力FN=mg.

8．程序法

按时间的先后顺序对题目给出的物体运动过程（或不同的状态）进行分析（包括列式计算）的解题方法称为程序法．解题的基本思路是：正确划分出题目中有多少个不同过程或多少个不同状态，然后对各个过程或各个状态进行具体分析，得出正确的结果．

[例题]将质量为m的物体以初速度v0从地面向上抛出．设物体在整个过程中所受空气阻力的大小恒为Ff，求物体上升的最大高度和落回地面时的速度大小．

[解析]本题中物体的运动包括上升过程和下降过程，现用程序法求解知下：

上升过程：物体受重力mg和向下的空气阻力Ff作用，设加速度大小为a上，根据牛顿第二定律，有mg+Ff=ma上.

x和vt即为题目所求的上升的最大高度和落回地面时的速度大小．

[点评]程序法是解决物理问题的基本方法，我们在以后的学习中要注意培养应用程序法解题的能力．

三、创新·思维拓展

9．系统的牛顿第二定律

若研究对象是由几个物体组成的系统，这几个物体的质量分别是m1，m2，m3，…加速度分别是a1，a2，a3…这个系统受到的合外力为F合，则这个系统的牛顿第二定律的表示式为：

F合=m1a1+m2a2+m3a3+…

注意：上式中的a1，a2，a3…的方向应与F合的方向在同一条直线上，写成分量的形式为：

Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…

Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…

[例题]一只小猫跳起来抓住悬在天花板上的竖直木杆，如图4-6-7所示．在这个瞬间，悬绳断了．设木杆足够长，由于小猫继续向上爬，小猫离地高度始终不变，问木杆以多大的加速度下落？（设木杆和小猫的质量分别为M、m）

[解析]把猫和杆视为一整体系统，对系统进行分析，应用牛顿第二定律的系统表示形式列方程求解．

断线后，这个系统所受的合外力只有重力(M+m)g．设猫的加速度为a1，所求杆的加速度为a2，对这个系统，由牛顿第二定律得

(M+m)g=ma1+Ma2.

[点评]若一个系统内各物体的加速度不相同，而又不需要求系统内物体间的相互作用力时，应用牛顿第二定律的系统表示形式列方程求解较为简捷，因为这时只分析系统的外力，不分析内力，减少了未知量，大大简化了数学运算．用这种方法时要注意抓住两点：①分析系统受到的外力；②分析系统内各物体的加速度．

10．用动力学方法测质量

在动力学问题中，如果知道物体的受力情况和加速度，也可以测出物体的质量，就是说，质量可以用动力学的方法来侧定，考题面是用动力学的方法测定质量的一个有趣的题目．

名师诠释

[考题1]一个滑雪人从静止开始沿山坡滑下，山坡的倾角θ=30°，滑雪板与雪地的动摩擦因数是0.04，求5s内滑下来的路程和5s末的速度大小．

[解析]这是一个典型的已知物体的受力情况求物体的运动情况的问题，解决此类问题的基本思路是：

以滑雪人为研究对象，受力情况如图4-6-8所示．

研究对象的运动状态为：垂直于山坡方向，处于平衡；沿山坡方向，做匀加速直线运动．

将重力mg分解为垂直于山坡方向和沿山坡方向，据牛顿第二定律列方程：

FN-mgcosθ=0，mgsinθ-Ff=μFN.

又因为Ff=μFN，

由①②③可得：a=g(sinθ-μcosθ)，

[答案]58m 23.3m/s

[考题2]如图4-6-9所示，一水平传送带以2m/s的速度做匀速运动，传送带两端的距离为s=20m，将一物体轻轻地放在传送带一端，物体由这一端运动到另一端所需的时间为t=11s．求物体与传送带之间的动摩擦因数μ.

[解析]设匀加速运动的时间为t1，则

[答案]0.1

[考题3]在光滑的水平面上，一个质量为200g的物体，在1N的水平力作用下由静止开始做匀加速直线运动，2s后将此力换为相反方向的1N的力，再过2s将力的方向再反过来……这样物体受到的力大小不变，而力的方向每过2s改变一次，求经过30s物体的位移．

[解析]解题前先要弄清物体的受力情况，然后才能判断物体的运动情况．物体在前2s内做初速度为零的匀加速直线运动，在第二个2s内做匀减速直线运动，4s末速度为零，以后重复上述运动．根据物体的规律可列式求出30s内的位移，也可用v-t图象求解．

解法I：先分段分析．

(1)物体在1N的水平力的作用下，产生的加速度的大小为：

方向与力的方向相同．

t=2s末的速度v1为：v1=at=5×2m/s=10m/s.

(2)从第3s初到第4s末，在这2s内，力F的方向变成反向，物体将以v1=10m/s的初速度做匀减速度运动，4s的速度为：

v2＝v1-at=(10-5×2)m/s=0.

在此2s内物体的位移为：

方向与位移x1的方向相同．

从上述分段分析可知，在这4s内物体的位移为x1+x2=20m．物体4s末的速度为零，以后重复上述过程后4s物体前进20m，在30s内有7次相同的这种过程，经过4s×7=28s,最后2s物体做初速度为零的匀加速运动，位移为10m.

所以经过30s物体的总位移为：x=(20×7+10)m=150m.

解法II：本题可采用图4-6-10所示的v-t图象求解．30s内的位移就是v-t图线所围“面积”的大小．解得x=150m.

[答案]150m

[点评]在两种解题方法中，方法I是基本解法，它强调了对运动过程的分析及不同规律的应用，这是学习的重点，方法II解法简单，能力要求高，提倡大家对一题多解这方面问题进行训练．

[考题4]如图4-6-11所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0)，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则( )

(2004·全国)

A. t1＜t2＜t3 B. t1＞t2＞t3

C. t3＞t1＞t2 D. t1=t2=t3

[解析]小滑环下滑过程中受重力和杆的弹力作用，下滑的加速度可认为是由重力沿斜面方向的分力产生的，设轨迹与竖直方向夹角为θ，由牛顿第二定律知mgcosθ=ma.①

设圆心为O，半径为R，由几何关系得，滑环由开始运动至d点的位移

x=2Rcosθ. ②

小圆环下滑的时间与细杆的倾斜情况无关，故t1=t2=t3.

[答案]D

[考题5]如图4-6-12，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球．当小车处于静止状态或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力大小和方向．

[解析]以小球为研究对象，受力分析如图4-6-13，杆对球的作用力方向是竖直向上，大小为F=mg.

[点评]由此可见，杆对球作用力的方向不一定是沿着杆的方向．

[考题6]如图4-6-13，一质量为m的小球用轻绳悬挂在小车顶部，小车向左以加速度a做匀加速直线运动时，求轻绳对小球的作用力的大小及方向．

[解析]以小球为研究对象进行受力分析，由图4-6-13所示．

轻绳对小球的作用力的大小随着加速度的增大而增大，它的方向沿着绳子，与竖直方向成θ角．

[点评]绳的拉力的方向一定沿着绳，其大小随外力或物体运动状态的变化而变化．

[考题7]若将图4-6-14中的轻绳换成固定的轻杆，当小车向左以加速度a做匀加速直线运动时，求杆对球的作用力的大小及方向．

[解析]以小球为研究对象进行受力分析．由图4-6-15所示．

轻杆对小球的作用力的大小随着加速度的增大而增大，它的方向不一定沿着杆的方向，只有a=gtanθ时，F才是沿着杆的方向．

[点评]杆对球作用力的方向可沿任意方向，其大小和方向均随外力或物体运动状态的变化而变化．

[考题8]两个物体A和B，质量分别为m1和m2，互相接触放在光滑水平面上，如图4-6-16所示，对物体A施以水平的推力F，则物体A对物体B的作用力等于( )

[解析]所以对A、B整体分析，则F=(m1+m2)a，

[点评]求内力时，以B为对象，使过程简洁．

可以打开啊,你重启电脑看看,你是不是设置什么或者中毒了?