向量点乘与叉乘的概念及几何意义

向量点乘，也称为内积或标量积，是两个向量[向量A]和[向量B]在空间中的交互，用符号[A·B]表示。点乘的结果是两个向量对应位置值的乘积相加，代数公式为[A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3]。几何上，点乘等于两个向量长度的乘积与它们夹角余弦的乘积，可以用来判断向量的方向关系，如它们是否同向或正交。

点乘的几何意义是，向量[A]在向量[B]方向上的投影乘以[B]的长度，如[A在B上的投影] * [B的长度]，有助于理解两向量的相似程度。例如，若结果为零，说明两向量垂直。

通过代数定义和余弦定理，可以计算出向量间的夹角，如[θ = arccos( A·B / (|A|*|B|) )]。

相比之下，向量叉乘（或外积）是两个向量[向量A]和[向量B]产生的新向量，记作[A×B]。代数上，它的计算涉及向量的垂直分量，公式为[A×B = (A2B3 - A3B2)i + (A3B1 - A1B3)j + (A1B2 - A2B1)k]。几何上，叉乘结果是垂直于两者所在的平面，并且其长度等于这个平面的面积。

以向量[A]和[B]构成的平行四边形为例，其面积等于[|A×B|]的模长。右手定则可帮助确定新向量的方向。