t的n次方的拉普拉斯变换推导

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个时域函数转换到复频域。对于一个实数t的n次方，其拉普拉斯变换是复杂的，因为它涉及到数学归纳法和一些复数运算。

以下是对t的n次方进行拉普拉斯变换的推导过程：设$f(t) = t^n$，对其进行拉普拉斯变换：$L[f(t)] = int_{0}^{infty} t^n e^{-st} dt$其中s是复频率变量。对上式进行分部积分，得到：$L[f(t)] = int_{0}^{infty} t^n e^{-st} dt = s^{-1} int_{0}^{infty} t^{n-1} e^{-st} dt - (n-1)s^{-2} int_{0}^{infty} t^{n-2} e^{-st} dt + ... + n! s^{-n-1} e^{-st} |_{0}^{infty}$对于上式右侧的每个积分，我们都可以使用相同的分部积分过程，直到所有的n次项都变成0次项。这样，我们就可以得到以下公式：$L[f(t)] = s^{-1} int_{0}^{infty} t^{n-1} e^{-st} dt - (n-1)s^{-2} int_{0}^{infty} t^{n-2} e^{-st} dt + ... + n! s^{-n-1} e^{-st} |_{0}^{infty}$$= s^{-1} L[t^{n-1}] - (n-1)s^{-2} L[t^{n-2}] + ... + n! s^{-n-1}$$= s^{-1} cdot s^{n-1} cdot frac{1}{s} - (n-1)s^{-2} cdot s^{n-2} cdot frac{1}{s^2} + ... + n! s^{-n-1}$$= n!$因此，我们得到了$L[t^n](s) = n!$的结果。