向量的垂直公式、平行公式是什么？

向量的垂直和平行关系是向量几何中的基本概念，用于描述空间中向量之间的相对位置。首先，向量垂直的公式表明，如果向量a=(α1,α2)和向量b=(β1,β2)垂直，那么它们的对应分量的乘积之和等于0，即(α1β1 + α2β2) = 0。这意味着，两个向量的投影在坐标轴上的长度之和为零，它们形成90度的直角关系。

向量平行的情况则更为直观，当向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)满足关系式x1y2 - x2y1 = 0，或者向量点积a·b = x1x2 + y1y2 = 0时，两个向量是平行的，这意味着它们在同一直线上，方向相同或相反。

在更深入的向量理论中，共线向量定理阐述了两个向量如果a与b（b≠0）平行，那么存在唯一的实数λ使得a = λb。共面向量定理则解释了当向量c需要与向量a和b共面时，存在唯一的一对实数x和y，使得c可以表示为它们的线性组合c=ax+by。空间向量分解定理进一步强调了三个不共面的向量可以构成空间的基底，任何其他向量都可以唯一地表示为这三个向量的线性组合。