平方和公式推导

先给结论：

有两种证明方法。(归纳法就不说了。)

法一：消项法

由于 ，因而有

等式两边竖向相加得到

变形可得：

最终化简得：

法二：几何三角法

假设有一正三角形，我们往三角形中填入带有数字的小圆，第一行只有一个圆，标号为1，第二行有两个圆，标号分别为2......以此类推，第n行有n个分别标有数字n的小圆。

如果将这一个三角形内的数字相加，结果便是 .

接着把该三角形分别旋转120度和240度，并记录这两个新的三角形。

旋转120度：

旋转240度：

接下来，我们把这三个三角形中，每个对应位置的小圆的数字相加，结果得到：

根据等差数列求和公式很容易得到小圆的数量为 .

由此我们得到关系式：

即