图论(一)：图和子图

图论是研究图和其子图结构及其性质的数学分支，本文将介绍图的基本定义、同构关系、邻接矩阵、子图的概念以及连通性等核心概念。

图论以图形的形式来表示，由顶点集合和边集合构成。每个无序的顶点对称为边，简单图不包含环和重边。同构的图具有相同的形状，但不一定是恒等的。例如，完全图和偶图有特定的定义和性质。

邻接矩阵是描述图中边的连接情况的工具，它展示了节点之间的关联次数。图中每个顶点的度，即与其关联的边数，决定了顶点的类型，如奇点、偶点和孤立点。子图是图论中的重要概念，包括导出子图和边导出子图，它们是原图的子集，通过特定条件定义。

连通性是衡量图中节点间路径关系的关键，连通图意味着任意两个顶点之间都有路径相连。图的分支数和连通性是判断图结构的重要指标。邻接矩阵和子图的概念有助于我们深入理解图的结构和性质。

在图论中，通过定理我们可以验证一个图是否连通，即对每个非空顶点子集，其边界边集合的存在性。这在分析网络结构、数据关系等领域具有重要意义。