初二的数学题

你好：

1.如果多项式P=2a的平方+17b的平方-16a-34b+2004

求P的最小值

p=2a^2+17b^2-16a-34b+2004

=2(a-4)^2+17(b-1)^2+1945

当a=4,b=1时，有最小值1945

2.已知a的平方+b的平方=1

c的平方+d的平方=1

ac+bd=0

求ab+cd=？

令a=sina,b=sina,c=sinb,d=cosd,且abcd均为锐角

则cosacosb+sinasinb=0,即cos(a+b)=0,所以sin(a+b)=1

而ab+cd=cosasina+cosbsinb

=(sin2a+sin2b)/2

=2[sin(a+b)cos(a-b)]/2

=cos(a-b)=cos[a-(π/2-a)]=cos(2a-π/2)=sin(2a)=2sinacosa

所以有sinacosa=sinbcosb,即sin2a=sin2b

可以得到2a=2b，之后可以得到ab+cd=1

3.求证 x.y不论为什么实数，

<1>x的平方+y的平方-2x+12y+40都是正数

<2>x的平方+y的平方+xy都为非负

(1)x^2+y^2-2x+12y+40=(x-2)^2+(y+6)^2+3,显然>=0

(2)x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy

又xy<=(x^2+y^2)/2

4.设a b c d为实数 且ad-bc=1

a的平方+b的平方+c的平方-ab+cd=1

求abcd=？

不如设a=sinα，b=sinβ,c=cosα,d=cosβ，反正只有一个答案，不如就特殊化

则可以得到：

sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）=1,cos(α-β)=0

又由条件2有1+cosα^2-sinαsinβ+cosαcosβ=1

即cos^2（α）=-cos(α-β)=0,所以取一种情况α=π/2,β=0

得到abcd=sinαsinβcosαcosβ=（sin2αsin2β）/4=0

5.已知x的平方-yz=y的平方=xz=z的平方-xy

求证 x=y=z或者x+y+z=0

x^2-yz=z^2-xy,可以得到x^2-z^2=yz-xy即(x-z)(x+z)=-y(x-z),

两种情况，

1，x-z=0时，等式成立，即x=z，y^2=xz=x^2,所以y=x，代入式子验证，可得只有当x=y=z=0时，才成立；

2，x-z≠0时，x+z=-y,即x+y+z=0