牛顿迭代法

牛顿迭代法详解

牛顿迭代法的核心是解决方程求根问题，以一元函数[公式]为例。当初始值接近零点时，通过一阶泰勒公式近似[公式]，寻找直线方程的零点。展开为一阶泰勒公式后，零点的近似计算如下：

[公式]

将此式转化为迭代公式，我们有：

[公式]

以下是几个实例：

平方根求解：[公式]

平方根倒数：[公式]

倒数计算：[公式]

关于初始值，文献Fast Inverse Square Root提供了针对IEEE754标准32位浮点数的建议初始值：0x5f3759df, 0x5f37642f, 或0x5f375a86。

在嵌入式和高性能计算中，牛顿迭代法用于优化除法效率，例如在arm-cortex架构中，它支持快速计算倒数和平方根倒数。对于无约束最优化问题，牛顿迭代法扩展为求解导函数零点，涉及海森矩阵和阻尼牛顿法。

Levenberg-Marquardt修正解决了非正定海森矩阵带来的问题，确保搜索方向的下降性。对于非线性最小二乘问题，高斯-牛顿法通过近似二阶导数简化了迭代过程。

信赖域搜索是牛顿迭代的一个关键步骤，它通过定义搜索半径并优化邻域内的二次模型来确定迭代方向和步长。实用的LM迭代法包括了初始设定、终止条件、信赖域调整和实际迭代步骤。