抛物线所有公式

抛物线是一种基本的数学图形，其特性可以通过多种公式来描述。首先，它的基本形式为y = aX² + bX + c（a、b、c为常数且a≠0），这种形式称为一般式，它揭示了抛物线的基本形状。另一种表达方式是顶点式，即y = a(X - h)² + k，这里a、h、k同样是常数，这个公式突出了抛物线的顶点位置。

当抛物线与x轴有交点时，我们可以使用交点式，即y = a(x - x1)(x - x2)，其中x1和x2是方程aX² + bX + c = 0的解。这些交点坐标是抛物线的重要特征。

尽管形式各异，抛物线的基本性质有共同之处，比如原点总位于抛物线上，离心率恒为1，对称轴可以是x轴或y轴。焦点和准线的特性也很显著，它们与坐标轴的关系以及与原点的距离都具有特定的数学关系。

抛物线的方程根据对称轴的不同，其右端的表达式会有所不同。对称轴为x轴时，右端可能是±2px；对称轴为y轴时，右端为±2py。同时，开口方向决定了焦点的位置，与正半轴同向时，焦点在正半轴；反向则在负半轴。

切线方程是研究抛物线特定点的重要工具。对于抛物线y²=2px，点（x0，y0）的切线方程和过焦点的斜率方程都有明确的公式。

关于抛物线的特殊性质，如直线AB过焦点的条件、焦点弦的长度计算、焦半径和弦长公式等，都有详细的规定。例如，当AB过焦点时，x1x2与y1y2的关系，以及焦半径和弦长的计算方法，都是理解抛物线几何的关键。

最后，抛物线的判别式△=b²-4ac，用于确定抛物线与x轴交点的性质，即当△大于0、等于0或小于0时，对应的根的情况各不相同。同时，焦点到切线垂线的距离与顶点到切点的距离之间存在特定的比例关系。

总的来说，抛物线的公式和性质丰富多样，每一种形式都对应着不同的应用场景，理解和掌握这些公式对于深入研究和应用抛物线至关重要。