杨辉三角有什么规律？

杨辉三角是一个规律性很强的数表，它以一定的规则排列出来，每个数字表示该位置上方两个数字之和。以下是杨辉三角的一些主要规律总结：

杨辉三角的首尾数字都为1。

第n行的第一个数和最后一个数都是1，即 C(n, 0) = C(n, n) = 1。

每一行的数字个数等于行数加1。

第n行有(n+1)个数字。

第n行的数字之和是2的n次方。

第n行所有数字之和等于2^n，即 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n。

第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字与第k个数字之和。

对于第n行的第k个数字（从0开始计数），可以用以下公式计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。

杨辉三角关联到组合数。

第n行的第k个数字（从0开始计数）表示的是从n个元素中取k个元素的组合数，即 C(n, k)。

对称性：

杨辉三角具有左右对称性，即第n行的第k个数字等于第n行的第n-k个数字。这个对称性可以使得计算杨辉三角的某些部分更加高效。

斜对角规律：

从第2行开始，每条斜对角线上的数字之和都是2的幂。例如，第1个斜对角线上的数字之和为2^0=1，第2个斜对角线上的数字之和为2^1=2，第3个斜对角线上的数字之和为2^2=4，依此类推。

这些规律使得杨辉三角在组合数学、概率统计等领域具有广泛的应用。它可以用来计算二项式展开式中各项的系数、计算组合概率、展示二项式系数的对称性等。