第九章：数值方法——9.9.6 伪谱切比雪夫方法

当处理非周期性函数时，傅里叶方法的局限性在于其基函数的周期性。在这种情况下，正交多项式，如Chebyshev或Legendre多项式，能提供更适用的解决方案。我们以Chebyshev基为例，因为它们支持通过快速傅立叶变换（FFT）计算导数。函数 [公式] 可以用Chebyshev多项式表示为

[公式]

其中，[公式] 是Gauss-Lobatto分布的点，第一项和最后一项经过调整。一阶导数可以通过公式给出：

[公式]

其中，[公式] 和[公式] 为特定表达式。考虑区间[公式] 的插值问题，通过变换

[公式]

将空间映射到物理域 [公式] ，Gauss-Lobatto点在中心处具有最大的间距。在波问题中，我们根据奈奎斯特准则选择最大网格间距 [公式] 。空间导数通过变换后的公式计算为

[公式]

Chebyshev方法的实现并非直接实用，因为边界附近的网格间距过密。Kosloff和Tal-Ezer提出的新算法通过坐标变换，允许时间步长从[公式] 降低到 [formula] ，与傅里叶方法相当。新方法使用 [formula] 个采样点，定义为：

[公式]

其中[公式] 是一个拉伸函数，它在边界附近精细调整网格，以保证 [formula] 级别的最小网格尺寸。一个合适的拉伸函数是

[公式]

计算等距点处的物理空间函数值需要从 Chebyshev 域的[公式] 转换，物理空间的等距点对应于 Chebyshev 域的[公式] 。为了得到这些值，需要计算[公式] 的谱系数[公式] ，从而得到

[公式]