超越数后续2

我们来回顾一下数系的状况，早在18世纪时，虽然在弄清无理数概念方面没有什么成就，但是对无理数本身还是作出了某些进展。1737年Euler（1707～1983）基本上证明了e和e2是无理数，Labert证明了π是无理数。 任何有理系数代数(多项式)方程的任何一个根(不管是实的还是复的叫做一个代数数，这样方程

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0（1）

的根叫做代数数，其中ai是有理数。因此所有的有理数和一部分无理数是代数数，这是因为，任一有理数(是方程x-c=0的根，而2是x2-2=0的根。 不是代数数的数叫做超越数，因为Euler说过：“它们超越了代数方法的能力。” Euler至少早在1744年就认识到了代数数与超越数之间的这一差别。他猜测说，以有理数为底的有理数的对数，必定或者是有理数，或者是超越数，然而18世纪时不知道有哪一个数是超越数，因为证明超越数存在的问题仍旧没有解决。

到19世纪中叶，关于代数无理数与超越无理数的工作，是朝着更好地了解无理数的方向跨进的一步。代数无理数与超越无理数之间的区别在19世纪已经完成了。值得一提的是超越数的存在的证明都是兵分两路地进行着。为此我们从新捡起它们的头绪。

一方面，直到1844年前，是否存在任何超越数的问题没有解决，但就在这一年，Liouville证明了下述形式的任何一个数都是超越数：

a1101!+a2102+a3103!+…

其中ai是0到9的任意整数。

要证明上述结论，Liouville先证明了几个关于用有理数逼近代数无理数的定理，一个代数数是满足代数方程(1)的任何一个实数或复数，其中ai都是整数。一个根叫做n次代数数是指它满足一个n次方程，但不满足低于n次的方程。有些代数数是有理数，它们都是一次的。Liouville证明如果p/q是一个n次代数无理数x的任一近似值，则存在一个正数M使

｜x-pq｜>Mqn

这里p与q>1是整数。这表明，对于一个n次代数无理数的任一有理逼近p／q其精度必定达不到M／qn，换句话说，如果x是一个n次代数无理数，则必存在一下正数M使不等式｜x－pq｜1，从而当μ≤n时亦然。因此，对于一个固定的M，如果上述不等式对每一个正整数μ都有解p／q，则x是超越数。Liouville证明他的那些无理数是满足上述最后的条件的，从而就证明了他的那些数都是超越数。

另一方面，康托(Cantor　1845~1918)从集论中得到代数数集合是可数集证明。肯定存在不是代数数的实数。这样的数称为超越数。他的证明是这样的。

和上叙述的一样代数数是满足方程(1)的任何实数或复数，其中ak都是整数，代数数的概念是有理数的自然扩充，因为后者构成n＝1这特殊性形。

但并不是每一个实数都是代数数。这一差可以从康托的证明看出所有代数数的全体是可数的。由于所有实数的集合是不可数时，所以一定存在不是代数数的实数。

将代数数集合排列成可数序列的方法如下，对于形如(1）的每一个方程，将正整数。

h=｜an｜+｜an-1+…+｜a1｜+｜a0｜+n（2）

规定为它的“高度”。对于每一个确定的h,高度为h的方程(1)只有有限个。其中每一个方程最多只有n个不同的根。因此，由高度为h的方程得出的代数数只有有限个，于是我们可以将所有代数数排成一列，即先排高度为1的代数数，然后排高度为2的代数数…等等。这就进一步完善了超越数的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步完善了超越数的理论。不但证实了超越数的存在而且更进一步指出了它是一个不可数集。难怪中国伟大的学者数学家华罗庚教授在其著的“数论导引”中嗟叹到“业已证明超越数之存在性，且实数中几乎全部是超越数，盖代数数集仅一可数集耳！”

在认识特殊的超越数方面。其次跨进的一大步是1873年Hermite（爱米特)关于e是超越数的证明，在得到这个结果以后，Hermite写给Carl wilhelm Borohardt(1817~1880)说：“我不敢去试着证明π的超越性。如果其他人承担了这项工作对于他们的成功没有比我再高兴的人了，但相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。

Legendre（勒尚德)早曾猜测π是超越数，Ferdinad Lindemann。（费尔德兰得·林德曼.1852－1939)在1882年用实质和Hermite没有什么差别的方法证明了这个猜测，Lindemann指出，如果x1,x2,…,xn是不相同的代数数实的或复的而p1，p2，…，pn是不全为零的代数数，则和数

p1ex1+p2ex2+…+pnexn

不用是0，如果我们取n＝2，p1＝1，x2＝0，则可见当x1是非零代数数时，ex1不能是代数数。由于x1可以取成1、e是超越数，现在已知eiπ＋1＝0从而数iπ不能是代数数，由于两个代数的乘积是代数数，而i是代数数，所以π不是代数数，π是超越数的证明解决了著名的几何作图问题的最后一个项目“圆化方的问题”，因为所有可作出的数都是代数数。

关于一个基本的常数仍是一个谜。Euler常数γ。

γ＝lim（1＋12＋…＋1n-lnn）

近似地是0。57721564490它在分析中，特别在Γ函数与ζ(s)函数的研究中起着重要作用，却至今不知道它是有理数还是无理数。至于这点大数学家希尔伯脱多次向全世界的数学家发出呼吁”已到了喋喋不休的程度。最近有人揭示了Riemann Zeta函数与Euler常数之间的关系表示式为γ＝∑∞n=2(-1)nnζ(s)。又进而言之有关系式∑∞n=1ζ(2n+1)(n+1)(2n+1)=1-γ由这个关系式可以看出。Euler常数是否为无理数的问题与Riemann Zeta函数(当Re(s)为正奇数时)有密切的关系。