一道高中数学题

设线段PQ中点M(x，y)，P(u，v)，Q(2x-u，2y-v)，则

向量AP=(u-1，v-2)，向量AQ=(2x-u-1，2y-v-2)，由向量AP·向量AQ=0得：

(u-1)(2x-u-1)+(v-2)(2y-v-2)=0

即2xu-u^2-2x+2yv-v^2-4y+5=0……………………………………………………（1）

又P、Q为圆上的动点，故

u^2+v^2+2u-6v+1=0，即2u-6v=-u^2-v^2-1

(2x-u)^2+(2y-v)^2+2(2x-u)-6(2y-v)+1=0，即4x^2-4xu+4y^2-4yv+4x-12y=2u-6v-u^2-v^2-1

故u^2+v^22x^2-2xu+2y^2-2yv+2x-6y+1=0……………………………………………（2）

（1）+（2）得：x^2+y^2-10y+6=0

因此线段PQ中点M的轨迹方程是：x^2+y^2-5y+3=0