啥是有限元？

有限元方法，作为计算数学中的核心数值手段，主要用于解决实际工程中那些复杂偏微分方程问题。面对理想化条件下的精确解难以获取，通常需寻求近似解。其核心思想是将求解区域分解为有限个网格或单元，每个单元内用简单函数逼近原问题的解，再将所有单元解的线性组合得到全局近似解。

网格划分是关键，需确保在复杂区域和奇异点处采用适当的精细网格，同时考虑计算效率。自适应有限元方法针对未知区域的局部奇异性变化，通过后验误差估计动态调整网格密度。

在表示解时，有限元选择基函数进行逼近。基础的插值方法如多项式或傅里叶级数，而在求解偏微分方程时，需将强形式转化为弱形式，降低对解的光滑性要求，通过线性代数求解线性方程组。

每个单元解的叠加得出全局解，得益于基函数的特性，它们既保证了解的连续性，又保持了局部计算的便捷性。针对不同问题特性，有限元方法可能需要发展出适应性更强的版本，如满足特定边界条件的Nedelec元素或针对间断解的间断有限元。