24、广义逆矩阵，矩阵的单侧逆，伪逆

广义逆矩阵在奇异矩阵及长方矩阵中存在，具备逆矩阵的基本属性，当矩阵非奇异时，即还原为常规逆矩阵。广义逆矩阵在微分、积分方程、最优化等领域展现巨大价值，是解决最小二乘问题的关键工具。

讨论线性方程组时，首先定义相容方程组与矛盾方程组，相容方程组存在唯一解或无穷多解，而矛盾方程组则需寻找近似解——最小二乘解，如果最小二乘解不唯一，则选择最佳的最小二乘解。

对于非方阵矩阵，广义逆矩阵的概念引入，其逆矩阵仅在矩阵的某一边存在，即为左逆或右逆矩阵。存在单侧逆的条件通常涉及矩阵的满秩性质，无论是方阵还是非方阵，行秩与列秩的数目均相等。

定义矩阵的左逆与右逆，并介绍其等价条件，同时给出具体表达式。左逆的表达式为\[U(A^T(AA^T)^{-1})\]，而右逆的表达式为\[V(A(A^TA)^{-1})\]，其中U与V是使关系式成立的m阶方阵。

探讨单侧逆矩阵的性质，包括非唯一性及其对线性方程组解的影响。定理3与定理4分别阐述了左逆与右逆在求解线性方程组时的作用，强调单侧逆条件下方程组解的唯一性。

总结广义逆矩阵的表达式，即\[A^+\]，用于解决奇异矩阵或长方矩阵的逆问题。伪逆作为广义逆矩阵的一种特例，适用于非满秩矩阵的逆求解。在奇异矩阵或长方矩阵中，伪逆为最接近逆矩阵的选择。

伪逆的数学表达式为\[A^+\]，在SVD分解中，其公式为\[V\Lambda^{-1}U^T\]。对于非方阵矩阵\[A\]，其伪逆的计算步骤特殊而简单。当矩阵\[A\]为奇异矩阵时，\[A^+\]的大小为\[n*m\]，对应列空间的投影矩阵；当矩阵\[A\]为方阵且非奇异时，\[A^+\]的大小为\[m*m\]，对应行空间的投影矩阵。

最小二乘估计是使用伪逆的典型应用之一。对于非方阵矩阵\[A\]，最小二乘估计的解公式为\[A^+b\]，其中\[A^+\]表示矩阵\[A\]的伪逆。通过求解此公式，可以得到使得误差平方最小的解，即最小二乘估计的最优解。