求一个初等矩阵，如何用初等行变换求？

首先，如果｜A|=0或者｜B|=0, |AB|=0必然成立，反之依然

所以只要证明AB满秩的情况

首先容易证明：当A或B为初等阵时等式成立；

由于满秩阵都可以由初等阵化来，所以可以写成

A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm，其中A0为A的对角化标准阵，易知｜A0B|=|A0|*|B|,所以

|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|

=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|

=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|

=|A||B|

补充：｜A0|=|A|,初等阵的行列式＝1

|AB|=|A||B|用两次拉普拉斯公式即证，可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对（k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。