约数和倍数练习题

1、解题步骤：首先，分解360的质因数，即360 = 23 * 32 * 51。根据约数个数计算公式，质因数分解中的指数加1相乘，即（3+1）*（2+1）*（1+1）= 24个因数。约数之和可以通过每个质因数的幂次和1相加，然后乘以该质因数的幂次，最后将这些结果相乘求和。积则直接将所有质因数的幂次相乘，即23 * 32 * 51 = 360。最终，360有24个因数，这些因数的和是720，这些因数的积是360。

2、分析1至100中的数，找出恰好有6个约数的数。6个约数意味着质因数分解中质因数的幂次加1为6，即形式为p5 * q1或p1 * q2，其中p、q是不同的质数。在1至100的范围内，找到符合这些条件的数，共计有6个。

3、解题关键：个位为0的自然数，最小可能的数为10的倍数，考虑约数个数为8，即有形式为23 * 51 * q1或21 * 53 * q1。最小数的情况应为10的倍数，即10 * 23 * 31 = 120，满足条件。

4、分析三位数中恰好有9个约数的数。9个约数意味着质因数分解中质因数的幂次加1为9，即形式为p2 * q2 * r1，其中p、q、r是不同的质数。在三位数范围内，找到符合这些条件的数，共计有3个。

5、针对已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数的情况，找到5A的约数个数。观察约数个数变化规律，可以得出5A的质因数分解中质因数的幂次加1为18，即形式为p3 * q2 * r1。因此，5A有18个约数。

6、要找出能被210整除且恰有210个约数的数，先分解210的质因数，即210 = 21 * 31 * 51 * 71。考虑210个约数的条件，找到满足这些条件的数，共计有1个。

7、解题思路：首先，根据最大公约数和约数个数，确定a和b的质因数组成。a有8个约数，即形式为23 * q1；b有9个约数，即形式为p2 * q2。根据最大公约数为12，考虑a和b的质因数组成，找到符合条件的a和b，即a = 12 = 22 * 31，b = 12 = 22 * 31。因此，a和b均是12，满足题目条件。