夹逼定理定义

夹逼定理定义

在数学中，夹逼定理是关于数列极限的一个重要性质。当数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足以下条件时，夹逼定理成立：

(1) 当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn。

(2) 当n→+∞，limYn =a；当n→+∞ ，limZn =a。

那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。这个定理的核心在于，如果一个数列被两个极限相同的数列从上下两边“夹住”，且两边数列的极限都存在，那么被“夹”数列的极限必然存在，并等于两边数列的极限值。

证明这个定理时，我们首先利用数列极限的定义，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，使得当n>N1或n>N2时，数列{Yn}和{Zn}的值与极限a的差距都小于ε。然后选取N=max{No，N1，N2}，当n>N时，数列{Yn}和{Zn}的值都满足与极限a的差距小于ε的条件，同时保持Yn≤Xn≤Zn的关系。通过这个过程，可以得出数列{Xn}的值与a的差距也小于ε，从而证明了当n→+∞时，数列{Xn}的极限为a。

夹逼定理在函数极限的定义中也有应用。当函数F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A，且在Xo的某邻域内恒有F(x)≤f(x)≤G(x)，则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)，即A≤limf(x)≤A。由此可以得出，函数f(x)在Xo的极限也等于A，即limf(Xo)=A。

总结而言，夹逼定理是通过证明数列或函数在某个区间内被其他两个具有相同极限值的数列或函数“夹住”，进而得出原数列或函数在该区间内的极限值等于这两个数列或函数的极限值。这一定理在数学分析中具有广泛的应用，特别是在证明极限存在的场合。