基本不等式

结论：当a和b满足a^2+b^2/2=1，且均为正数时，a*√(1-b^2)的最大值为(3√2)/4。以下是三种不同的求解方法：

1. 使用换元法：设t=a√(1+b^2)，将问题转化为求解t的平方的最大值。利用均值不等式，我们得到2t^2≤9/4，从而t≤(3√2)/4，即a*√(1+b^2)的最大值为(3√2)/4，取得最大值时，a=(√3)/2，b=(√2)/2。

2. 利用二次方程的判别式：将2a^2+b^2+1=3转化为二次方程x^2-3x+2t^2=0的根，要求判别式Δ=9-8t^2≥0，解得t^2≤9/8，所以a*√(1+b^2)的最大值同样为(3√2)/4，此时a和b的值同上。

3. 三角函数法：利用三角函数的变换，设(sint)^2=2a^2/3, (cost)^2=(b^2+1)/3，将a*√(1+b^2)化简为√(9/2)*sint*cost，进一步化简为√(9/8)*sin2t。由于0°

综上所述，a*√(1-b^2)的最大值为(3√2)/4，当a=(√3)/2，b=(√2)/2时，这一值被达到。