线性代数（1）：内积与外积

线性代数中的内积与外积概念是数学中的重要工具，尤其在处理高维向量时显得尤为关键。首先，内积，或称数量积，适用于所有维度的向量，定义为两个向量[公式]的点积，即[公式]，结果是一个标量。内积的坐标运算表明，若向量[公式]，则[公式]。若内积为零，说明两个向量正交，这在正交坐标系如平面直角坐标系中常见。

与内积不同，外积，或称叉积，只适用于三维空间向量。它表示为两个向量[公式]的外积，记作[公式]，其模长代表以这两个向量为边的平行四边形的面积，如[公式]。外积满足反交换律，即[公式]。在实际应用中，外积可以用来判定两向量是否垂直（共线）以及求取平面的法向量，例如[公式]和[公式]垂直时，法向量为[公式]。

在平面几何中，例如求解[公式]和[公式]张成的平行四边形面积，通过坐标扩充和外积运算，可以得出面积为[公式]。同样的方法也可用于计算三角形面积，为[公式]。这些基本概念在线性代数的学习中起到了桥梁作用，连接了向量的代数表示与几何直观。