三体问题基本简介

三体问题基本简介

三体问题主要研究三个视为质点的天体在相互万有引力作用下的运动规律。希尔伯特在1900年的大数学家大会上提出了这一问题作为完美数学问题的代表。三体问题方程组由十八个二阶常微分方程组成，但目前仅能解决其中的十一个初积分，故问题尚未得到完全解决。

在研究天体运动时，由于三体问题不能严格求解，研究时通常采用分析、定性和数值三种方法。分析方法将天体坐标和速度展开为小参数的级数形式，以讨论坐标或轨道要素的变化；定性方法利用微分方程的定性理论研究三体运动的宏观规律；数值方法直接根据微分方程计算天体在特定时刻的位置和速度。

三体问题的数学方程组可由牛顿万有引力定律和牛顿第二定律推导得出，涉及质点的质量、万有引力常数、距离和空间坐标。因此，三体问题在数学上是九个方程的二阶常微分方程组。N体问题的方程也类似，为N²个方程的二阶常微分方程组。

当N=1时，单体问题简单，质点匀速直线运动。当N=2时，二体问题相对复杂，但方程组简化后仍可求解。二体问题又称开普勒问题，由约翰伯努利在1710年解决。N体问题的数学描述最早见于牛顿的著作《自然哲学的数学原理》中。尽管牛顿成功证明了开普勒定律，但并未给出二体问题的解。

三体问题自提出后，经过18和19世纪众多著名数学家的尝试，进展缓慢。直到19世纪末，人们期待的突破终于出现。

三体问题存在四种特殊情况：

1. 三星成一直线，边上两颗围绕当中一颗转；

2. 三星成三角形，围绕三角形中心旋转；

3. 两颗星围绕第三颗星旋转；

4. 三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动。

限制性三体问题是指当一个天体的质量与其他两个相比微不足道时的情况。一般将其视为无限小质量体，对两个有限质量体的运动状态进行讨论，其轨道以质量中心为焦点。限制性三体问题分为圆型、椭圆型、抛物线型和双曲线型四种类型。当小天体的初始位置和速度位于两个有限质量体轨道平面上时，小天体将永远在运动。

希尔伯特根据限制性三体问题研究月球运动，实际上这是一种特殊的平面圆型限制性三体问题。他得到的周期解是希尔月球运动理论的中间轨道。

在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论。脱罗央群小行星的运动是太阳-木星-小行星组成的椭圆型限制性三体问题等边三角形解的一个实例。布劳威尔还用椭圆型限制性三体问题来讨论小行星环的空隙。抛物线型和双曲线型限制性三体问题在天体力学中应用较少。随着人造天体的出现，限制性三体问题有了新的用途，用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型。