断裂力学——弹塑性理论（J积分理论）

断裂力学，特别是在涉及中、低强度材料时，通常需要考虑材料的高韧度特性，尤其是裂纹稳定扩展和失稳扩展前的显著塑性变形。因此，在研究裂纹扩展判据时，必须充分考虑塑性变形的影响，CTOD参量及判据虽能有效解决实际工程问题，但不直接反映裂纹尖端的应力、应变场，分析和测定裂纹尖端位移较为困难。

1968年，J. R. Rice（James Robert Rice）提出了平面裂纹问题的J积分概念，利用塑性力学全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时的数学难题。J积分定义为均质薄板内穿透裂纹在二向应力作用下的回路积分，其中包含应变能密度、位移矢量和作用力矢量等要素。在特定条件下，利用弹性力学理论，可以将积分表达式简化为与材料、应力强度因子相关的形式。在线弹性条件下，J积分与能量释放率的关系明确，且与裂纹尖端应力应变场强度紧密相关，成为描述裂尖应力应变的单一有效参量。在I型裂纹情形下，J积分同样与能量释放率具有类似关系。

J积分的积分路径选择灵活，可以通过极坐标形式进行定义，适用于线弹性范围内的应变能密度计算。对于不同裂纹类型和材料条件，J积分提供了与应力强度因子、边界条件等参数相关联的有效描述。在弹塑性条件下，虽然CTOD参量和判据失效，但J积分仍然存在，成为断裂判据的有效工具。J积分断裂判据要求在临界状态下，裂纹尖端应力应变场达到使裂纹开始扩展的临界强度时，J积分也达到相应的临界值。

在研究中，J积分与CTOD间存在密切关系，尤其是在幂硬化材料条件下，通过积分路径的选择，可以近似计算J积分值。J积分形变功率定义为试样边界围线的积分，其物理意义明确且便于计算和实验标定。形变功率定义与回路积分定义一致，简化了计算过程，提高了工程应用的便利性。

在弹塑性断裂力学中，K作为裂端应力和应变场的描述参数，当达到临界值时裂纹失稳扩展。J积分在弹塑性条件下成为断裂判据的有效参量，与裂纹尖端应力、应变场强度紧密相关，当应力、应变场达到临界状态时，J积分也达到相应临界值。Hutchinson、Rice和Rosengren利用塑性力学全量理论获得了幂硬化材料的局部解，证明了J积分在弹塑性条件下的唯一性，描述了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。

通过分析，可以得知在弹塑性状态下，当裂纹尖端的应力、应变场达到裂纹扩展的临界状态时，J积分也达到临界值。因此，在弹塑性状态下，可以利用J积分建立断裂判据，即当J积分达到临界值时，裂纹处于临界扩展状态。需要注意的是，J积分的守恒性要求在简单加载条件下使用，不允许卸载或临界扩展过程中的局部应力松弛。因此，J积分断裂判据主要用于裂纹的启裂阶段，而不适用于裂纹扩展过程。J积分定义限于二维情况，适用于平面问题。