齐曼(Zeeman)突变机构分析法

分析方式是根据发生突变现象的系统内部要素之间的数理关系推导出的系统势函数，考察它的归属，分析突变发生的条件，从而实现对突变过程的控制。

托姆创立突变理论后，著名的数学家Zeeman设计了突变机构证明了突变理论的正确性［80］。下面以Zeeman突变机构来介绍分析方式的一般思路［79］。

突变机构的构造如图6.6所示［69］。用实线标出的纸质圆盘可以绕着O点任意旋转，圆盘直径为1个长度单位，PZ与HZ均为橡皮筋，末拉伸长度均为1个长度单位，圆盘通过转轴固定于纸质底板上，OH长度为2个单位，Z点固定在圆盘的边缘上，P点为控制端，可在底板上自由移动。当P移动时，圆盘也随着转动，在大多数情况下，这种转动是平稳的，圆盘连续地取得所有角度θ值。但在一些特殊位置，圆盘会突然转过一个很大的角度，即点由上边跳到下边，或者相反，由下边跳到上边。这时圆盘不能取得某些中间角度值，即我们前面所提到的不可达性。画出Z点跳跃时P点的轨迹，得到一个曲边钻石ABCD（图6.6），一般称A、B为尖点。AB，AD，CB，CD称为尖点曲线［79］。

图6.6 齐曼突变机构

计算机构的势能，简单地等于橡皮筋中贮藏的能量。设橡皮筋的弹性系数为μ，拉伸后的长度分别为r1，r2，则机构的势能为：

煤矿底板突水

先考虑P点位于对称线上的简单情况，由图6.6，设OP＝s，则

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把cosθ展开为θ的Taylor级数，就能确定这个平衡位置的性质，只保留到θ的四次项就够了，即有：

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进而有：

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代入（6.14）得到：

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式中

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式（6.19）正是突变理论中的尖点突变模型，因为橡皮筋必须张紧，故s＞1/2，因此恒有c＞0，但b可能为零，可见四次项是必须保留的。于是，V′（θ）＝2bθ＋4cθ3＝0，可以找到s变化时，V（θ）的所有临界点，即机构的所有平衡位置。再由V″（θ）＝2b＋12cθ2是否为正，可判别相应的平衡点位置是否稳定，当s＞0时，必有c＞0，而b在s＝ 处有过一个零点，这时需要研究θ的四次项。

先考虑s＜s1的情况，这时b＞0，V′（θ）＝0只有一个零点θ＝0，但V″（θ）＝2b＞0，相应平衡位置是稳定的。再考虑s＞s1情况，这时b＜0，V′（θ）＝0有三个解θ＝0， 同时可由V″（θ）的表达式得知，平衡位置θ＝0是不稳定的，另外连个平衡位置是稳定的。这样，对应于V″（θ）的s＝s1就是中间平衡位置θ＝0由稳定到不稳定的转变点。类似的可以考虑θ＝π附近的情况，得知：s＝s2＝（27＋489）/20≈2.4557是θ＝π这个平衡位置由不稳定到稳定的转变点。这两点就是尖点A和B。

下面考虑P点在对称线附近时机构的性态，把这时的势能V看成P在对称线上时势能V的摄动，如下图6.7，显然有：

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此时r1的计算公式仍如式（6.17）所示，r1的求解公式如下式：

图6.7 平面图

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于是

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其中：

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最终得到：

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算出r1后代入式（6.25）中得到：

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式子（6.26）可以写成：

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其中ξθ4是小量，可以略去。又因为我们关心的是V′（θ）＝0所决定的临界点，V（θ）中的常数项便是无关紧要的。选择适当的单位使0.04596μ＝1，并略去常数项，则式（6.28）可以写成

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其中b1，b2，b3为某些常数。然后做代换 可以消去式（6.29）的三次项，在略去不含x的项，我们得到：

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其中u和v依赖于ξ，η和常数b1、b2、b3，即

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由此可见u主要取决于ξ，v主要取决于η。式（6.30）正是突变理论中应用最广的尖点突变的标准形式，根据前面的分析，尖点突变模型的突变流形为4x3＋2ux＋v＝0，分叉集方程为B＝8u3＋27v2，由突变理论，当8u3＋27v2＞0时，系统处于平衡状态，无论控制变量如何变化，系统都没有突变现象发生，当8u3＋27v2＝0时，系统处于临界状态，当8u3＋27v2＜0时，系统大状态有突变发生，根据各个变量之间的变换关系，可以推导出系统状态变量θ发生突变时，控制ξ，η之间的关系式。