变分法，变分原理，线性方程组，最速降线问题

在处理多元函数的极值问题时，我们通常会遇到变分法的运用。变分法的核心思想是将多元问题转化为一元问题，以求解极值。例如，对于二次函数[公式]，我们令[公式]，这样在[公式]下，[公式]和[公式]分别取极小值[公式]和[公式]。这种转换后，我们发现当[公式]为正定矩阵时，[公式]总是大于零，从而得出定理：当[公式]是对称正定矩阵时，[公式]在[公式]处取得极小值，即[公式]是[公式]的解。

最速降线问题，即寻找物体在重力作用下最短时间到达两点的路径，是变分法的起源。伽利略曾认为是圆弧，约翰·伯努利通过分析证明它是摆线，这一问题的解决过程就是一个典型的变分问题。通过能量守恒和速度定义，我们可以建立总时间关于曲线[公式]的函数[公式]。为求解[公式]的极值，我们引入泛函[公式]，令[公式]并满足边界条件，最终通过Euler-Lagrange方程得出[公式]在[公式]取极值时，[公式]满足该方程。

具体到摆线问题，我们令[公式]，将其代入Euler-Lagrange方程，解得[公式]为摆线。验证时，对摆线[公式]，我们可以验证它确实满足微分方程[公式]，从而证明了它是最速降线的正确解。