二重积分计算思路与方法总结

本文主要介绍二重积分在计算过程中的一些经典处理方法，深度和广度介于期末考试与研究生入学考试的水平，请读者根据自身水平决定是否阅读本文。二重积分的讨论由此展开。

在学习二重积分前，读者应该具备一元函数积分学与多元函数微分学的相关知识，二重积分的概念是二元函数在一定区域内的累积量，可以视为一个曲顶柱体的体积。

二重积分用符号记作，其中为被积函数，称为积分区域。在定积分中，积分上下限就是一维坐标轴的两个点；但在二重积分中，积分区域在 平面内可以具有各种形状，如何表示积分区域的形状也是一个重点；最后称为面积元素，选用不同的坐标系表示，面积元素的表示不一定相同。

二重积分的许多性质和定积分是一样的，例如，但这毕竟只是特殊情况，不能推广到所有二重积分的计算中。

二重积分可以转化为两次定积分计算：第一次定积分将线元素累积起来，从而得到曲顶柱体截面的面积；第二次定积分将面积元素累积起来，从而得到曲顶柱体的体积，这就是二重积分一种真正泛用的计算方法。

根据以上的理论，二重积分可以转化为一个嵌套的积分（一般称为累次积分）计算，这种累次积分需要先计算对的积分，再计算对的积分，因此称为先 后 的累次积分计算法。

若区域 可以表示为，则二重积分可以转换为如下的嵌套（累次）积分计算。

这种累次积分需要先计算对的积分，再计算对的积分，因此称为先 后 的累次积分计算法。相应地，若区域 可以表示为，则二重积分可以转换为如下的累次积分计算。

计算二重积分最基本的要求是正确表示 对应的区域，画出了对应的区域后会发现，如果采用先 后 的表示形式，那么区域的下边界需要采用分段函数的形式表示。计算二重积分时，先在 平面内绘制积分区域是个好习惯。

若区域 由 绕着围成，计算二重积分时，先在 平面内绘制积分区域是个好习惯。本题中，如果将积分区域表示为先 后 的形式为，则二重积分可以转化为如下累次积分。

在计算过程中，可能会用到定积分的各种计算技巧。如果使用先 后 的表示形式，那么区域不需要分段表示，积分的计算量可能会小一些。如果被积函数是分段函数，相应的二重积分也应在各自积分区域分别处理。

在某些知识点中，可能会提供不止一个例题，读者可以将第二个例题当做练习，检验自身是否掌握该知识点。曲线 将图形划分为两部分，右上部分 ，右下部分 。

对于同样一个二重积分，区域的表示方法不同，可能造成积分的计算量也不同。因此有的时候，对累次积分交换积分次序也是必要的。一般来说，累次积分交换积分次序主要是出于以下考虑。

若区域由 与 围成，若采用先 后 的表示方法，需要对区域分段表示，将计算两个累次积分。但如果采用先 后 的表示方法，