0到正无穷的定积分怎么求

求解0到正无穷的定积分，利用伽玛函数和余元公式较为便捷。考虑Γ(x)=∫t^(x-1)/e^t dt，取x=3/2，得Γ(1/2)=∫t^(-1/2) * e^(-t)dt。接着，通过替换x^2令1/x = t，化简得到∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)，进而可转化为2∫e^(-x^2)dx。

借助余元公式Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx，我们得到Γ(1/2) = √π。因此，∫e^(-x^2)dx即为Γ(1/2)除以2，即为√π除以2。

另一种方法是计算∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy在[0,R][0,R]上的值。首先将此双积分转换为极坐标，再通过夹逼原理求极限，最后开平方即可得到答案。

综上所述，对于0到正无穷的定积分，通过使用伽玛函数、余元公式以及极坐标转换，我们可以方便地求解。例如，∫e^(-x^2)dx的结果可以通过Γ(1/2) / 2 或 √π / 2 来表示。另一种方法则涉及极坐标变换和夹逼原理的运用，进一步简化求解过程。