sinc函数与甚么函数卷积可以更窄

自从接触到数字信号，特别是采样定理之后，我就一直非常好奇一个问题：两个相邻的采样点之间，要以什么样的形式，怎么样连接起来？

因为正弦波才是频率最单一的波形，如果两个采样点直接用直线连接(变成了三角波)，那么又能产生更高频率的信号了，显然跟采样定理是相悖的。

所以我就想，是不是有一种插值的方法，在两个采样点之间的插值形成的是一条正线曲线？

直到接触到了sinc函数(又称为抽样函数，Sa函数，辛格函数)，才豁然开朗。

小小的一个从采样点还原波形的过程，就蕴含了这么多知识。

AD/DA转换

真实世界中的音频信号被麦克风接收之后，传送到了声卡上的AD芯片上进行了模数转换，将连续的振动离散化为一个一个离散的采样点，以便于交给其他数字设备进一步处理。

将模拟信号转换为数字信号的过程，在信号处理领域叫做采样(Sampling)。我们可以形象地把这个过程理解为使用一连串宽度非常窄的脉冲和输入信号相乘。而得到的结果则是一连串时间上不连续的脉冲。

而当我们需要从数字设备里将音频播放出来，我们就需要进行一个相反的过程。数据被传送到声卡上，经过DA芯片进行数模转换之后，输出可以连接到扬声器上的模拟电信号。这时候，就需要一个办法，来将离散的点变得连续起来了。

从时域到频域

在对信号进行处理的过程中，我们经常使用傅立叶变换。傅立叶变换将信号从时域转到频域，便于分析和处理。

当采样脉冲的宽度越来越窄，采样后的信号具有的频谱宽度会越来越宽。在理论分析时，我们可以假设脉冲的宽度趋于0，也就是δ函数。这时候信号的频谱在频域上无限重复延展。

我们在还原信号的时候，只需要在频谱上做一个低通滤波，把那些延展出来的频率过滤掉，得到的就是原始的信号啦！

而根据傅立叶变换的性质，在频域上乘积，等价于在时域上的卷积。而低通滤波器，可以近似看为一个矩形函数。矩形函数的傅立叶变换(或者逆变换)，则是Sinc函数。

所以，低通滤波的操作，又相当于把采样点和Sinc函数进行了卷积。采样点和采样点之间的曲线，也就自然而然地形成了。

直观地感受卷积的过程

写了段代码来展示卷积操作的这个过程。

简直太漂亮了好吗！！！入迷了！！！

由于卷积跟信号的顺序没有关系，互换一下两个函数，虽然看起来不那么直观，但是也是很炫酷的一个过程，嘻嘻

再来看看使用卷积生成其他函数

实际上，DA的的输出电路里，我们会使用一个模拟低通滤波器来完成这项把离散的采样点变成连续的输出波形的工作