如何画函数的图像？

例如画函数y=log2(x^2+1)的图像：

 

函数定义域：

根据对数函数的定义域要求，函数的真数部分为非负数，即要求：

x^2+1>0，根据该不等式的特征，可知不等式恒成立，即

函数y的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

 

函数单调性：

y=log2(x^2+1),

dy/dx=d(x^2+1)/[ln2(x^2+1)],

dy/dx =2x/[ln2(x^2+1)],令dy/dx=0,则：x=0,即有：

(1)当x∈[0,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数单调递增，区间为增区间；

(2)当x∈(-∞,0)时，dy/dx＜0，此时函数单调递减，区间为减区间。

 

函数凸凹性：

dy/dx =2x/[ln2 (x^2+1)],

d^2y/dx^2=(2/ln2)*[(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2,

d^2y/dx^2=(2/ln2)*(1-x^2)/(x^2+1)^2,

令d^2y/dx^2=0，则x^2=1，即：

x1=-1，x2=1。

(1). 当x∈(-∞, -1) ,(1,+∞)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数为凸函数；

(2). 当x∈[-1,1]时，d^2y/dx^2≥0，此时函数为凹函数。

 

函数奇偶性：

设f(x)=log2(x^2+1)，则有：

f(-x)=log2 [(-x)^2+1]=log2(x^2+1)=f(x),

即函数偶函数，函数图像关于y轴对称。

 

函数的极限：

Lim（x→-∞）log2(x^2+1)=+∞，

Lim（x→0）log2(x^2+1)=log2 1=0，

Lim（x→+∞）log2(x^2+1)=+∞。

函数的示意图