关于采样的一些理解

连续信号转换为数字信号的核心过程称为采样。采样实质上是一种数据压缩，它将原本需用无限多点表示的模拟信号信息，压缩为有限个点表示，以方便传输和利用计算机处理。采样率对应于频域图中的频率轴，其值越高表示频率轴越长，能表示更高的频率分量。采样的目的是为了能够无失真地恢复信号，这是采样的不可逆过程，无法恢复出与原始模拟信号完全一致的信号，因为存在多个模拟信号的采样序列相同。理解这一过程需从傅里叶变换的角度出发，带限信号的频谱无限延展，缩短频率轴会导致高频分量分辨不清。

推导分析部分如下：

假设存在一个模拟信号，我们能通过信号绘出时域和频域图。信号在1秒内有2个周期（频率2，周期0.5）。信号频域图上显示出两个对称的谱线。

接下来，将连续信号离散化。这里介绍的是周期采样，采样序列的形成可通过如下公式表示：

公式：[公式]

式中，[公式]表示采样周期。

采样过程数学上的推导分为两步，首先是模拟信号通过冲击串调制器得到信号[公式]。第二步是将[公式]转换成采样序列[公式]。第一步的推导如下：

首先，周期冲激串公式为[公式]。模拟信号[公式]经过冲击串调制器后，可以表示为公式（3）和（4）。公式（4）中的频率表示为模拟频率，未转换成离散频率以便推导。在公式（3）中，[公式]信号（对应图2中的图c）为模拟信号，将不在采样周期整数倍的值置为0，在时间轴上保持连续性，其时域推导图如图2所示。

图2表示公式（3）的时域推导图。图中图（a）为[公式]波形图，图（b）为[公式]波形图（图中线表示冲激函数），图（c）为[公式]波形图（仍然是模拟信号）。公式（3）的频域推导图如图3所示，信号在频域上进行周期延拓，判断信号采样是否能无失真恢复。

第二步的推导是将[公式]中幅度值不为零的值组成序列[公式]，这个序列即为模拟函数[公式]的采样序列。在1秒信号中，通过20个点采样，采样率即为20Hz，信号在频域表示范围为[-10Hz, 10Hz]。

信号恢复和频谱混叠需注意。信号采样后考虑恢复原样，信号可用时域或频域表示，无失真恢复意味着频谱形状不变。使用低通滤波器可恢复原始信号，而采样率过低会导致频谱混叠，难以恢复原信号。

奈奎斯特采样定理规定采样率需大于等于信号最高频率的两倍。如果采样率低于信号带宽的一半，则无法正确表示信号。降采样过程是频率轴的缩短，而升采样则是频率轴的拉长。

总结采样过程，我们得到周期性抽取模拟信号的序列。通过示例信号，推导了采样的原理及如何正确恢复信号。理解了频谱混叠的概念，以及为恢复信号处理采样定理。最后，结合信号频域轴与采样率，对采样原理进行了更全面的解释。

参考文献：《离散信号处理（第三版）》奥本海姆