12.1 广义测度定义及正、负、零集

测度的定义最早见于Definition 3.1，该定义中测度仅取非负值。不过，为了突出正测度这一特性，我们有时也称Definition 3.1中的测度为正测度。在深入主题之前，先简要回顾级数的收敛与发散定义。给定数列\(a_n\)，级数的部分和数列记作\(S_n\)。级数\(a_n\)收敛于\(L\)，当且仅当\(S_n\)收敛于\(L\)。级数\(a_n\)绝对收敛，当且仅当级数\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)收敛。级数\(a_n\)发散，当且仅当级数\(a_n\)不收敛。级数\(a_n\)定向发散到\(L\)，当且仅当\(S_n\)定向发散到\(L\)。

在Definition 12.1中，我们定义了一个带符号测度/广义测度，它是一个集合函数\(m\)，满足以下条件：对于任一集合\(A\)，\(m(A)\)取值为实数；对于\(A\)中的两两不相交集合列\(\{A_n\}\)，有\(m(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}m(A_n)\)。若\(A\)为有限集，要求级数\(\sum_{n=1}^{\infty}m(A_n)\)绝对收敛；若\(A\)为无穷大，要求级数\(\sum_{n=1}^{\infty}m(A_n)\)定向发散。值得注意的是，我们可以选择\(m\)为非负值，但定义明确指出在可列可加条件下，对级数的收敛发散要求与非负测度的情形相似，因此隐含了满足条件。

Definition 12.2中，给定带符号测度\(m\)，正集\(P\)定义为\(m(P) > 0\)，负集\(N\)定义为\(m(N) < 0\)，零(测)集\(Z\)定义为\(m(Z) = 0\)。

当\(m\)为带符号测度时，仍然有\(m(A) \geq 0\)对所有集合\(A\)成立，这与Proposition 3.5的证明相一致。

Lemma 12.3表明，若\(A\)是\(m\)的正集，那么对于任一可测集合\(B\)，\(A \cup B\)也是正集。

通过例12.4，我们具体探讨了Lebesgue测度下的正集、负集与零测集。Hahn分解定理将测度空间分解为正集与负集，且该分解是唯一的，除了零测集，它可放置于正集或负集内。

Proposition 12.5指出，对于任一集合\(A\)，存在一个集合\(B\)作为\(A\)的负集，且存在一个集合\(C\)作为\(A\)的正集，满足特定条件。

证明步骤涉及将问题分解为若干子问题，通过归纳法构造出满足条件的集合\(B\)或\(C\)，确保最终结论的正确性。对于不可数集合的情形，通过分析实数列的性质，保证了归纳法的适用性。