柯西—黎曼方程的简要证明（定义法）

以复函数为例，它由两个二维流形之间的映射构成，如图1所示。

该映射[公式]在流形[公式]和[公式]上分别定义了二维坐标系，从而产生了两个二维函数[公式]和[公式]。在多维流形间的映射中，同一映射可以包含多个函数，但通常我们简称为[公式]，需要注意到这一点。

复函数的映射将复数[公式]映射到复数[公式]，通常所说的复函数指的就是[公式]，如图所示。

复函数的可微定义如下：设[公式]是定义在[公式]上的复变函数，若[公式]且[公式]，则存在极限[公式]，称为[公式]在[公式]处的微商。上述极限存在等价于存在[公式]，使得下式在满足[公式]时成立：

考虑复数[公式]，给定任意一个复函数[公式]，其在点[公式]连续等价于柯西—黎曼方程[公式]成立。

下面我将尝试用基本定义方法证明上述

证明[公式]，[公式]，首先需要变化[公式]前后的量，有[公式]。

由定义式，有[公式]。

假定[公式]的偏导数存在，即下面四个极限均存在，且分别记为[公式]、[公式]、[公式]、[公式]。

稍微变形定义式中的子项，有[公式]。

这里还需讨论[公式]与[公式]的存在性，事实上令[公式]，[公式]。

极限随[公式]的取值变化而变化，极限不存在，上式变得不好处理，但若我们假定[公式]与[公式]满足某个确定的关系，使得极限[公式]与[公式]均存在，则上式可以拆分。

对另一个子式也变形，则有[公式]。

将两个变形的子式代入原式，有[公式]。

在直角坐标中，令[公式]，[公式]，上式化为[公式]。

显然，上式极限中仅有[公式]与[公式]之间的关系有关，由于[公式]不恒为[公式]，则应有[公式]。

极限满足[公式]。

显然有如下充要条件成立：[公式][公式]。