勾股数有哪些规律

勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。观察到3，4，5；5，12，13；7，24，25；...这些勾股数都是奇数，并且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据规律写出分别表示7，24，25的股和弦的算式。

依据上述规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；...发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述方法用m的代数式来表示它们的股合弦。

勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件。设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。如已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如6、8、10，8、15、17、10、24、26等。

再看3、4、5；5、12、13；7、24、25；...这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

勾股数 - 特点。观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。