什么叫做蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

蝴蝶定理的证明

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：

1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。

2. 圆可以改为任意圆锥曲线。

3. 将圆变为一个筝形，M为对角线交点。

4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:

 ，这对1, 2均成立。

[1-2] 

验证推导

编辑

霍纳证法

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST

可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所对的圆周角相等）

△ESD∽△CSF（AAA）

证法1:霍纳证法

∴DS/FS=DE/FC

根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2

∴DS/FS=DL/FT

又∵∠D=∠F

∴△DSL∽△FST

∴∠SLD=∠STF

即∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB（垂径定理逆定理）

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆（对角互补的四边形共圆），

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON（同弧所对的圆周角相等）

∴∠SON=∠SOM

∴∠OTS=∠OMS，∠OLS=∠ONS（同弧所对的圆周角相等）

∴∠OMS=∠ONS

∵OS⊥AB

∴在△OSM和△OSN

∠MSO=∠NSO

∠OMS=∠ONS

OS=OS

∴△SOM≌△SON（AAS）

∴MS=NS

作图法

从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。

证法2

（证明过程见图片）

证明方法二

对称法

证法3:对称证法

（证明过程见图片）

面积法

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（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】

帕斯卡证法

连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，

连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线

证法5:帕斯卡定理证法(2张)

∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°

又∵CI、EJ为⊙O直径

∴∠GFK=∠HDK=90°

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°

∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆

∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH

又∵∠GFM=∠MDH

∴∠GKM=∠MKH

又∵∠GMK=∠HMK=90°

∴△GMK≡△HMK（ASA）

∴GM=MH

射影法

1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.

2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.

3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.