三重积分如图 中间的“利用对称性”能详细点吗？

对称性说的是积分区间对积分变量是对称的

1.∫∫∫x^2dxdydz=∫{1,4}dz∫∫{Dz}x^2dxdy

∫∫∫y^2dxdydz=∫{1,4}dz∫∫{Dz}y^2dxdy

∵Dz是一个圆形区域

∴∫∫{Dz}x^2dxdy=∫∫{Dz}y^2dxdy

∴∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫y^2dxdydz

2∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫x^2dxdydz+∫∫∫y^2dxdydz

=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz

∴∫∫∫x^2dxdydz=1/2*∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz

2.至于∫∫∫x*y^2*sin√(x^2+y^2)dxdydz

其中的x为奇函数，所以x*y^2*sin√(x^2+y^2)为奇函数

根据对称区间的定积分可知，被积函数为奇函数时，积分为零

∴∫∫∫x*y^2*sin√(x^2+y^2)dxdydz=0