什么是对数？？？？？？？

对数概念：

b^nx则记n=log(b)(x)其b叫做底数x叫做真数n叫做b底x对数

log(b)(x)函数x定义域x>0零和负数没有对数；b定义域b>0且b≠1

对数历史：

对数学初等数学重要内容当初谁首创对数种高级运算呢数学史上般认对数发明者十六世纪末十七世纪初苏格兰数学家——纳皮尔（Napier1550-1617年）男爵纳皮尔所处年代哥白尼太阳心说刚刚开始流行导致天文学成当时热门学科由于当时常量数学局限性天文学家们得花费大精力去计算些繁杂天文数字因此浪费了若干年甚至毕生宝贵时间纳皮尔也当时位天文爱好者了简化计算多年潜心研究大数字计算技术终于独立发明了对数当纳皮尔所发明对数形式上与现代数学对数理论并完全样纳皮尔时代指数概念还尚未形成因此纳皮尔并像现行代数课本样通过指数来引出对数而通过研究直线运动得出对数概念当时纳皮尔所发明对数运算回事呢时代计算多位数之间乘积还十分复杂运算因此纳皮尔首先发明了种计算特殊多位数之间乘积方法让我们来看看下面例子：

0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……

两行数字之间关系极明确：第行表示2指数第二行表示2对应幂我们要计算第二行两数乘积通过第行对应数字加和来实现比计算64×256值先查询第行对应数字：64对应6256对应8；再把第行对应数字加和起来：6＋8＝14；第行14对应第二行16384所有：64×256＝16384纳皮尔种计算方法实际上已经完全现代数学对数运算思想了回忆下我们学学习运用对数简化计算时候采用正种思路：计算两复杂数乘积先查《常用对数表》找两复杂数常用对数再把两常用对数值相加再通过《常用对数反对数表》查出加和值反对数值原先两复杂数乘积了种化乘除加减从而达简化计算思路正对数运算明显特征经过多年探索纳皮尔男爵于1614年出版了名著《奇妙对数定律说明书》向世人公布了项发明并且解释了项发明特点所纳皮尔当之无愧对数缔造者理应数学史上享有份殊荣伟大导师恩格斯著作《自辩证法》曾经把笛卡尔坐标、纳皮尔对数、牛顿和莱布尼兹微积分共同称十七世纪三大数学发明法国著名数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace1749-1827）曾说对数缩短计算时间实效上等于把天文学家寿命延长了许多倍

对数性质及推导

用^表示乘方用log(a)(b)表示a底b对数

*表示乘号/表示除号

定义式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.用推了吧直接由定义式得(把定义式[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2.

MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]

由指数性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因指数函数单调函数所

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]

由指数性质

a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因指数函数单调函数所

log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因指数函数单调函数所

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其性质：

性质：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推导下

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因N=b^[log(b)(N)]

所

b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所

log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {步明白或有疑问看上面}

所log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

性质二：（知道名字）

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导下

由换底公式[lnxlog(e)(x),e称作自对数底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)

由基本性质4得

log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

--------------------------------------------（性质及推导 完 ）

公式三:

log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明下:

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取b底对数,log(b)(b)=1

=1/log(b)(a)

还变形得:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

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