玄切角定理是什么

弦切角定理编辑词条

弦切角定理　　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.

(弦切角就是切线与弦所夹的角）

　证明

　已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

　求证：.

　证明：分三种情况：

　

（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上

　∵AC为直径，AB切⊙O于A，

　∴.

　∵为半圆,

　∴,

　∴.

　

（2）　圆心O在∠BAC的内部.

　过A作直径AD交⊙O于D,

　那么

　.

　

（3）　圆心O在∠BAC的外部,

　过A作直径AD交⊙O于D，那么

　∴.由弦切角定理可以得到：

　推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

　

应用举例

　

例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，求长.

　解：连结OA，OB.

　∵在中,

∠C=Rt∠

　∴

　∵　（弦切角定理）

　∴

　又∵AO=BO

　∴为等边三角形

　∴AO=AB==

　∴

　

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

　求证：EF∥BC.

　证明：连DF.

　AD是∠BAC的平分线　∠BAD=∠DAC

　∠EFD=∠BAD

　∠EFD=∠DAC

　⊙O切BC于D

∠FDC=∠DAC

　∠EFD=∠FDC

　EF∥BC

　

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

　求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

　证明：∵AB是⊙O直径

　∴∠ACB=90

　∵CD⊥AB

　∴∠ACD=∠B，　

　∵MN切⊙O于C

　∴∠MCA=∠B，

　∴∠MCA=∠ACD，

　即AC平分∠MCD，

　同理：BC平分∠NCD.