弹簧难题，高手进，追加分

确定小球位置需要一个合适的参考系，为方便研究位置我们选择弹簧上端为参考系。当T=0开始弹簧上端以匀速U竖直向上运动，小球初速度为0，此后小球距弹簧上端的距离随时间逐渐增大；当T=T0时上端速度大小变为0，小球继续以某一速度（小于或等于V）上升，此后做变减速运动至速度为0，后振动，至速度最后为0。 这是一个用高等数学中的微分方程解的题目，首先列微分方程：

选小球平衡位置为坐标原点,竖直向上为X轴正方向,则经过t秒以后弹簧的上端上升高度为:Vt米,设此时小球上升了x米,则此时的弹簧比当初平衡时的弹簧伸长了:(Vt-x)米,所以小球所受到的合外力为:F=k.(Vt-x)牛顿.(你好好想想是不是这样的,因为小球的重力与当初平衡时的弹力已经平衡,而上面的Vt-x其实是弹簧此时的长度减去平衡时的长度,并不是伸长量,你可能理解?)

面有牛顿第二定律F=ma可得:k(Vt-x)=mdx2/dt2 .........(1)

右边那个符号我打不好,现在说明一下:它的意思是位移x对时间t的二阶导数,例如Y=ax2+bx+c (二次函数),则Y对x的一阶导数是dy/dx=2ax+b (这你们学过的吧),而Y对x二阶导数是dy/dx=2a.

下面再说明牛顿第二定律F=ma为什么会写成右面那个式子,其实只要说明为什么加速度a为什么会写成dx2/dt2(即位移x对时间t的二阶导数),这个问题我一时半会是说不清楚的,我只告诉你两句话,也许你听过,至少将来会听到,一.位移对时间的一阶导数是速度,二,位移对时间的二阶导数是加速度.我们用的就是第二句话.

至于要问为什么简单的F=ma不用非要写成什么古怪的k(Vt-x)=mdx2/dt2 ,那是因为前者只用于恒力的情况,而今天的小球受变力的作用,以后做变力问题都用这种形式的牛顿第二定律,而这种形式的方程就叫做微分方程,因为方程中含有导数.

至于这个方程怎么解,这要用到高等数学里的解微分方程的知识,一时半会我也说不完的.但我解的结果好象和你的答案不太一样.答案似乎有点不和理,因为答案中的t在分母中,显然当t从很小的值开始增大时必然会使得根号下m/kt多次取到是正弦为零的值(例如可另根号下m/kt=2N.180,即t=m/4kN平方.180平方)

mk都是定值,N是自然数,当N取很大时t就很小)

不过你现在可以不必做这种用没有学过的知识解答的题目,你可以找些高等数学书看看(如果你报理工类的专业),因为高等数学是非常重要,用途非常广的一门基础课程.