怎么证明e的平方是无理数？

如何直观证明e的平方是无理数？

大家都知道，e作为超越数的标志，其独特性超越了所有代数数。对于证明e2的无理性，其实方法相对简单。让我们深入探索e的连分数展开式，它揭示了e的秘密：<2,1,2,1,1,4,1,1,6,……1,1,2n,………>，这个序列是无穷且非循环的。根据拉格朗日关于连分数二次展开的定理，我们得知，既然e不是二次代数数，那么它的平方e2自然也不是有理数。

当然，还有更直接的途径。利用e的泰勒级数展开，我们能够得出更加明确的结论。假设存在一个有理数形式的e2，即

设 e2 = p/q，其中 p 和 q 是互素的正整数。

进一步推导，我们可以令 q 为大于 p 的一个奇数，比如:

e2 = q^2 / p

然后我们对两边取对数，得到:

2 * ln(e) = ln(q^2 / p)

即:

2 = ln(q^2) - ln(p)

由于 ln(q^2) 是整数，加上 ln(p) 后依然为整数，这意味着 2 必须是一个整数。但这与我们选择的 q 为奇数且大于 p 的条件矛盾，因为整数加上绝对值小于1的对数项不可能等于2。

因此，我们的假设 e2 = p/q 是错误的，从而证明了e2 是无理数。这个简单的推导过程，揭示了e的无穷复杂性，让我们对这个常数有了更深的理解。