固体的力学模型

固体的力学模型给出了一种对固体进行分类的途径，其基础是固体的本构关系。对于具有不同的本构关系的介质，声波（地震波）将表现出完全不同的性质。因此，了解固体的力学模型对于岩石声学研究来讲具有重要的意义。

1.完全弹性体

应力和应变呈线性关系的物体是完全弹性体，也叫虎克体。用一个服从虎克定律的弹簧可以直观地表示这种物体。在三维条件下，弹性体的本构方程是（6-1-15）。

在一维条件下，设纵向力为σ、剪切（横向）力为τ、纵向应变为ε、剪切（横向）应变为γ，则σ=Eε，τ=μγ。

2.黏滞体

理想的黏滞体是一种最简单的非完全弹性体，也叫牛顿体。对于这种物体，偏应力和偏应变的关系为

岩石物理学基础

式中，η是剪切黏滞性系数。我们可以用阻尼器直观地表示这种物体。阻尼器可以看成是在黏滞流体中移动的活塞，服从牛顿粘滞性定律（作用力正比于速率）。

在一维条件下，剪切应力τ和应变γ之间的关系为：

岩石物理学基础

3.完全塑性体

完全塑性体也叫圣·维南体。如果物体在所受应力

小于某定值

时为完全弹性体，而当应力等于

时就开始流动。换句话说，对于完全塑性体，当

时偏应变

可以任意大。

可以被比作摩擦力。当应力小于它时，比拟成位移的应变与应力正比；当应力等于它而克服了摩擦力时，位移可以无限制地增大。

4.宾干姆体（D.K.Bingham）

如果物体在应力小于某定值

时表现为完全弹性，而在应力大于该定值时为黏滞体，即

岩石物理学基础

岩石物理学基础

那么这种物体就叫作宾干姆体。

如果

是一个大于

的常数，则在对上述公式中的第二个求积分后得到

岩石物理学基础

这说明，在上述情况下，宾干姆体的应变随时间呈线性变化。

5.黏弹性体

黏弹性体也叫开尔芬（Lord Kelvin）体或伏格特（Voigt）体，它的特点是其应力由两部分组成，一部分和应变成正比，另一部分和应变率成正比，即

岩石物理学基础

我们可以用弹簧和阻尼器并联来表示黏弹性体，弹簧服从虎克定律，阻尼器服从牛顿黏滞性定律。

若在t=0时，

，而

为常数，则对上式积分后有

岩石物理学基础

式中τ=η/μ，具有时间的量纲，称为应变弛豫时间。如果在t=0时，

，然后应力

突然降为零，则

岩石物理学基础

它表明，在应力消失后，物体在恢复原状时有一个时间延迟。

如果偏应力是时间的简谐函数，即

，则可以想象偏应变也是时间的简谐函数，即

。将这两个关系式代入到应力应变关系（6-1-37）中得到

岩石物理学基础

如果令μ*=μ+jωη，则黏弹性体相当于具有复弹性系数μ*的完全弹性体。

6.弹滞性体

弹滞性体也叫麦克斯韦（A.E.Maxwell）体，它的偏应变

包括两部分：一部分是完全弹性应变，另一部分是黏滞性应变，且两部分应变对应的应力相等。设

代表弹性应变，

代表黏滞性应变，则总应变

为

与

之和，即

。另外，

。由此得出：

岩石物理学基础

由于

和

分别对应着弹簧和阻尼器，所以弹滞性体可以用弹簧和阻尼器串联来表示。若当t≥0时，

=常数（在t=0时突然加上应变

并使之保持不变），则对上式积分后有

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式中τ（=η/μ）称为应力弛豫时间。这个结果表明，当应变施加到麦克斯韦体上后，应力立即达到最大值（弹性应力），然后应力按指数规律逐渐松弛（衰减），将机械能转化为热能并最终消失。消失的快慢用应力弛豫时间τ来表征。

若在t=0时在无应变的弹滞性体上作用一恒定的偏应力

，则

岩石物理学基础

式中

。这表明，在t=0时刻作用的偏应力

会立刻引起一个偏应变

/μ；然后应变以恒定的速率

/η增加，像黏滞流一样，它可以变到无限大。

如果t=t1时应力突然从

降到零，则偏应力立刻减少

/μ，而残存一大小为t1

/η的偏应变。

如果偏应力和偏应变都是时间的简谐函数，即

，

，则根据公式（6-1-37）有

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这说明，弹滞性体相当于具有复弹性系数μ*的完全弹性体。

7.一般线性体

真实的固体在施加或取消偏应力后，通常立即发生一定数量的应变，然后再发生长时间的缓慢运动（蠕动）。这种现象叫作弹性后效或弹性滞后。为了描述弹性滞后，引入由弹簧和阻尼元件的串并联组成的一般线性体：

岩石物理学基础

根据这个公式，对于一般线性体，如果在t＜0时不发生应变，而在t≥0时施加一恒定的偏应力

，则对上式积分：

岩石物理学基础

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这说明，在t=0时刻发生了（τσ/μ）

的瞬时偏应变。当t→∞时，偏应变为

/μ。