两个矩阵合同但它们的秩为什么相同

合同关系定义为存在可逆矩阵P，使得B等于P的转置与A、P的乘积。此定义下，B与A合同。既然P为可逆矩阵，P的转置PT及P自身均为满秩阵，故B的秩与A的秩相同。若P和Q为可逆矩阵，那么矩阵A的秩等于PA的秩，也等于AQ的秩，进而等于PAQ的秩。这表明与可逆矩阵相乘不改变矩阵的秩。在矩阵乘以一个满秩方阵时，矩阵的秩保持不变。在高等线性代数领域，尤其是在二次型理论中，合同关系广泛应用于解决各种问题。两个矩阵A与B被认为是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，满足C的转置与A相乘、再与C相乘后的结果等于B，从而称A合同于B。在通常的线性代数问题中，合同矩阵的研究往往与二次型相关联。二次型中使用的矩阵通常是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的必要与充分条件是它们的正负惯性指数相同。由此可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。