高数 曲线方程 投影曲线

解:由(x-1)f(x+1/x-1)+f(x)=x (1)

令y=x+1/x-1, 于是x=y+1/y-1,带入到(1)式得

(2/(y-1))*f(y) + f(y+1/y-1)=y+1/y-1 (2)

将变量y换成x得

(2/(x-1))*f(x) + f(x+1/x-1)=x+1/x-1 (3)

等式两边乘以 x-1,得

2f(x)+(x-1)*f(x+1/x-1)=x+1 (4)

联立(1)，(4)解得

f(x)=1(x不能等于1)

3. f(x)=根号下(x-1)

因为 x^2-x+1>0 恒成立，

所以x^2>x-1

|x|>根号下(x-1)

或 根号下(x-1)<|x|

取k=1,即得

|f(x)|<|x|

4. f(x)=x/(x^2+x+1)

|f(x)|=|x/(x^2+x+1)|≤k|x|

等价于:|1/(x^2+x+1)|≤k

等价于:x^2+x+1≥1/k

x^2+x+1=x^2+x+1/4+3/4=(x+1/2)^2+3/4≥3/4(=1/k)

取k=4/3

则 f(x)≤4/3|x|