无偏估计量举例

2025-02-15 20:36:2684 次浏览

最佳答案

以下是关于题目中无偏估计量的详细说明。首先,我们考虑四个估计量,它们都是参数为λ的泊松总体的独立同分布样本,即ξ1、ξ2、ξ3。由于它们的期望和方差都等于λ,我们可以推导出它们的无偏性。

对于λ1∧,其期望值E(λ1∧)等于ξ1的期望,即E(λ1∧) = E(ξ1) = λ。同样,λ2∧的期望是两个样本均值的一半,E(λ2∧) = E[(ξ1+ξ2)/2] = (λ+λ)/2 = λ。λ3∧的期望则是(ξ1+2ξ2)/3的均值,E(λ3∧) = (λ+2λ)/3 = λ。而λ4∧的期望是三个样本之和的三分之一,E(λ4∧) = E[(ξ1+ξ2+ξ3)/3] = (λ+λ+λ)/3 = λ,这四个估计量均具有无偏性。

然而,有效性不仅考虑期望值,还需衡量方差。λ1∧的方差D(λ1∧) = D(ξ1) = λ,λ2∧的方差为[D(ξ1)+D(ξ2)]/4 = λ/2。对于λ3∧,方差为[D(ξ1)+4D(ξ2)]/9 = 5λ/9。最后,λ4∧的方差是最小的,为[D(ξ1)+ξ2+D(ξ3)]/9 = λ/3。因此,λ4∧由于具有最小的方差,被认为是这四个估计量中最有效的。

总结来说,这四个无偏估计量λ1∧、λ2∧、λ3∧和λ4∧分别基于单个样本、两个样本的均值、三个样本的加权平均,其中λ4∧由于其最小的方差,被证明是最优的无偏估计量。

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