二项式定理公式是什么

二项式定理公式是数学中用于展开形如(a+b)的n次幂的重要工具。其表达式为(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n。公式中，C(n，k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。具体计算时，C(n，k)=n!/(k!(n-k)!),其中“!”表示阶乘。

组合数C(n，k)代表从n个不同元素中取k个元素的组合方式数，与排列数相对，不考虑顺序。公式中的每一项，从左到右，a的幂次逐渐减少，b的幂次逐渐增加，最终组合成(a+b)^n的展开式。n为正整数，表示(a+b)的幂次。

在应用二项式定理时，需要注意的是，当n为偶数时，展开式中会有中间项是C(n，n/2)a^(n/2)b^(n/2)；当n为奇数时，中间项是C(n，(n-1)/2)a^((n-1)/2)b^((n+1)/2)。组合数C(n，k)的计算依赖于阶乘运算，因此计算时需注意大数运算的溢出问题。

二项式定理在多项式展开、概率论、组合数学等多个领域有广泛应用。例如，在求解概率问题时，可以利用二项式定理计算随机事件发生的概率；在组合数学中，可利用组合数计算不同选择方式的数量。掌握并熟练应用二项式定理，对于解决数学问题、深入理解数学知识具有重要意义。